Beweis Infimum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Do 17.11.2005 | | Autor: | bjarne |
Hallo zusammen!
Die Aufgabe lautet wie folgt:
"Man zeige, dass im angeordneten Körper der reellen Zahlen folgendes gilt: Sind A und B Teilmengen von den reellen Zahlen und nach unten beschränkt, so ist:
inf (A+B)= inf(A) + inf(B)."
Diese Aufgabe habe ich gelöst, indem ich gezeigt habe, dass inf (A)+ inf(B) < a+b ist und andersherum inf (A+B) < inf (A) + inf (B).
Womit dann gezeigt wäre, dass diese gleich sind.
Aber wir sollen die Aufgabe mit der Epsilon-Charakterisierung des Infimums lösen und möglichst Epsilon/2 benutzen.
Wer kann mir helfen, und eine solche Beweisführung verdeutlichen.
Mit lieben Gruß,
Bjarne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Do 17.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Moin Herr Rijs :o) ähm bjarne!
sei [mm] \alpha [/mm] = Inf(A) und [mm] \beta [/mm] =Inf(B)
aus [mm] a\ge\alpha [/mm] , [mm] b\ge\beta [/mm] folgt [mm] a+b\ge\alpha+\beta
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\alpha+\beta) [/mm] untere Schranke von (A+B)
dann Definition des Infimums ausnutzen:
zur positiven Zahl [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] gibt es ein [mm] a\in [/mm] A mit:
[mm] a>\alpha+\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
zur positiven Zahl [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] gibt es ein [mm] b\in [/mm] B mit:
[mm] b>\beta+\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
dann gilt aber:
[mm] (a+b)>(\alpha+\beta)+\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\alpha+\beta) [/mm] ist sogar kleinste untere Schranke
und
Inf(A+B)=Inf(A)+Inf(B)
MfG
saxneat
|
|
|
|
