Beweis Häufungswert,Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mi 12.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] a\in \IR [/mm] ist ein Häufungswert
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall \epsilon>0 \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_m -a|<\epsilon [/mm] |
Hallo,
DIe Richtung => hab ich denke ich verstanden:
Ich schreib das mal mit einen Worten auf:
a Häufungswert von [mm] a_n, [/mm] d.h. es gibt eine Teilfolge, die gegen a konvergiert
[mm] \exists (a_{n_k})_{k\in\IN}:
[/mm]
[mm] \forall \epsilon>0 \exists k_0 \in \IN: \forall [/mm] k [mm] \ge k_0: |a_{n_k}-a|<\epsilon
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] und N [mm] \in \IN [/mm] beliebig aber fest.
Da [mm] n_k [/mm] laut Definition monoton steigend sind ist: [mm] n_N \ge [/mm] N
Daher für alle [mm] k\ge N:n_k \ge [/mm] N
Wähle demnach m= [mm] n_k [/mm] mit [mm] k\ge max\{k_0,N\}
[/mm]
Die Richtung <= scheitert bei einen Punkt:
Es gilt: [mm] \forall \epsilon>0 \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_n-a|<\epsilon
[/mm]
[mm] \epsilon=1, [/mm] N=0 dann folgt [mm] \exists n_0 \ge [/mm] 0: [mm] |a_{n_0}-a|<1
[/mm]
[mm] \epsilon=1/2,N=n_0 [/mm] dann folgt [mm] \exists n_1 \ge n_0: |a_{n_1}-a|<1/2
[/mm]
[mm] \epsilon=1/3,N=n_1 [/mm] dann folgt [mm] \exists n_2 \ge n_1: |a_{n_2}-a|<1/3
[/mm]
...
[mm] \epsilon=1/{k+1}, N=n_{k-1} [/mm] dann folgt [mm] \exists n_{k} \ge n_{k-1} [/mm] : [mm] |a_{n_k}-a|<\frac{1}{k+1}
[/mm]
Wir haben jetzt eine monotone Teilfolge von [mm] a_n [/mm] konstruiert. Aber wieso konvergiert diese gegen a?
ZZ: [mm] \forall \epsilon>0 \exists k_0 \in \IN: \forall [/mm] k [mm] \ge k_0: |a_{n_k}-a|<\epsilon
[/mm]
Wir wissen von oben ja nur, dass es mindestens immer ein Index gibt.Aber nicht dass alle größer eines Index in alle [mm] \epsilon-Umgebungen [/mm] von a liegen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a\in \IR[/mm] ist ein Häufungswert
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\forall \epsilon>0 \forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] m [mm]\ge[/mm] N: [mm]|a_m -a|<\epsilon[/mm]
>
> Hallo,
> DIe Richtung => hab ich denke ich verstanden:
> Ich schreib das mal mit einen Worten auf:
>
> a Häufungswert von [mm]a_n,[/mm] d.h. es gibt eine Teilfolge, die
> gegen a konvergiert
> [mm]\exists (a_{n_k})_{k\in\IN}:[/mm]
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists k_0 \in \IN: \forall[/mm]
> k [mm]\ge k_0: |a_{n_k}-a|<\epsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] und N [mm]\in \IN[/mm] beliebig aber fest.
> Da [mm]n_k[/mm] laut Definition monoton steigend sind ist: [mm]n_N \ge[/mm]
> N
> Daher für alle [mm]k\ge N:n_k \ge[/mm] N
>
> Wähle demnach m= [mm]n_k[/mm] mit [mm]k\ge max\{k_0,N\}[/mm]
Das ist O.K.
>
>
> Die Richtung <= scheitert bei einen Punkt:
> Es gilt: [mm]\forall \epsilon>0 \forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] m
> [mm]\ge[/mm] N: [mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm]
> [mm]\epsilon=1,[/mm] N=0 dann folgt [mm]\exists n_0 \ge[/mm] 0:
> [mm]|a_{n_0}-a|<1[/mm]
> [mm]\epsilon=1/2,N=n_0[/mm] dann folgt [mm]\exists n_1 \ge n_0: |a_{n_1}-a|<1/2[/mm]
>
> [mm]\epsilon=1/3,N=n_1[/mm] dann folgt [mm]\exists n_2 \ge n_1: |a_{n_2}-a|<1/3[/mm]
>
> ...
> [mm]\epsilon=1/{k+1}, N=n_{k-1}[/mm] dann folgt [mm]\exists n_{k} \ge n_{k-1}[/mm]
> : [mm]|a_{n_k}-a|<\frac{1}{k+1}[/mm]
Die Indices [mm] n_k [/mm] solltest Du aber so auswählen, dass [mm] (n_k) [/mm] streng monoton wachsend ist !
>
> Wir haben jetzt eine monotone Teilfolge von [mm]a_n[/mm]
> konstruiert.
Hä ? Wieso ist die Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] monoton ???
> Aber wieso konvergiert diese gegen a?
> ZZ: [mm]\forall \epsilon>0 \exists k_0 \in \IN: \forall[/mm] k [mm]\ge k_0: |a_{n_k}-a|<\epsilon[/mm]
>
> Wir wissen von oben ja nur, dass es mindestens immer ein
> Index gibt.Aber nicht dass alle größer eines Index in
> alle [mm]\epsilon-Umgebungen[/mm] von a liegen.
Es gilt doch
$ [mm] |a_{n_k}-a|<\frac{1}{k+1} [/mm] $ für alle k.
Da [mm] (\frac{1}{k+1}) [/mm] eine Nullfolge ist, konvergiert [mm] (a_{n_k}) [/mm] gegen a.
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:59 Mi 12.11.2014 | | Autor: | sissile |
> > Die Richtung <= scheitert bei einen Punkt:
> > Es gilt: [mm]\forall \epsilon>0 \forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] m
> > [mm]\ge[/mm] N: [mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm]
> > [mm]\epsilon=1,[/mm] N=0 dann folgt [mm]\exists n_0 \ge[/mm] 0:
> > [mm]|a_{n_0}-a|<1[/mm]
> > [mm]\epsilon=1/2,N=n_0[/mm] dann folgt [mm]\exists n_1 \ge n_0: |a_{n_1}-a|<1/2[/mm]
>
> >
> > [mm]\epsilon=1/3,N=n_1[/mm] dann folgt [mm]\exists n_2 \ge n_1: |a_{n_2}-a|<1/3[/mm]
>
> >
> > ...
> > [mm]\epsilon=1/{k+1}, N=n_{k-1}[/mm] dann folgt [mm]\exists n_{k} \ge n_{k-1}[/mm]
> > : [mm]|a_{n_k}-a|<\frac{1}{k+1}[/mm]
>
> Die Indices [mm]n_k[/mm] solltest Du aber so auswählen, dass [mm](n_k)[/mm]
> streng monoton wachsend ist !
Achso,dann wähle ich jeweils N= [mm] n_0 [/mm] +1, [mm] N=n_1 [/mm] + 1,.., und allgemein [mm] N=n_{k-1} [/mm] +1
> > Aber wieso konvergiert diese gegen a?
> > ZZ: [mm]\forall \epsilon>0 \exists k_0 \in \IN: \forall[/mm] k
> [mm]\ge k_0: |a_{n_k}-a|<\epsilon[/mm]
> >
> > Wir wissen von oben ja nur, dass es mindestens immer ein
> > Index gibt.Aber nicht dass alle größer eines Index in
> > alle [mm]\epsilon-Umgebungen[/mm] von a liegen.
>
>
> Es gilt doch
>
> [mm]|a_{n_k}-a|<\frac{1}{k+1}[/mm] für alle k.
>
> Da [mm](\frac{1}{k+1})[/mm] eine Nullfolge ist, konvergiert
> [mm](a_{n_k})[/mm] gegen a.
>
> FRED
Ja aber die Ungleichung [mm] |a_{n_k}-a| [/mm] < [mm] \frac{1}{k+1} [/mm] gilt doch nur für ein bestimmtes [mm] n_k \ge {n_{k-1}} [/mm] nach meiner Definition oben.
Wie zeige ich, dass die Gleichung für alle k ab einen bestimmen Index funktioniert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Mi 12.11.2014 | | Autor: | sissile |
Ah, ich habs jetzt verstanden. Hab die Indizes durcheinandergebracht!
Danke, kann geschlossen werden.
LG,
sissi
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