Beweis Eigenwert < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Sa 06.02.2010 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Zeige, dass jede lineare Abbildung [mm] A:\IR^3\to\IR^3 [/mm] mindestens einen reellen Eigenwert besitzt. |
Hallöle,
also, ich weiß aufgrund des Hauptsatzes der Algebra ja, dass im Reellen ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen hat. Nun frage ich mich eben, wie ich aber Obiges zeigen kann.
Durch den Satz weiß ich ja, das diese Abbildung höchstens 3 hat (da es Polynome mit höchstens drittem Grad im [mm] \IR^3 [/mm] gibt, oder?)
Reicht es zu sagen: Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle? Wobei ich das nicht glaube, das müsste ich ja dann nochmal beweisen.
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> Zeige, dass jede lineare Abbildung [mm]A:\IR^3\to\IR^3[/mm]
> mindestens einen reellen Eigenwert besitzt.
> Hallöle,
> also, ich weiß aufgrund des Hauptsatzes der Algebra ja,
> dass im Reellen ein Polynom n-ten Grades höchstens n
> Nullstellen hat. Nun frage ich mich eben, wie ich aber
> Obiges zeigen kann.
> Durch den Satz weiß ich ja, das diese Abbildung höchstens
> 3 hat (da es Polynome mit höchstens drittem Grad im [mm]\IR^3[/mm]
> gibt, oder?)
> Reicht es zu sagen: Polynome ungeraden Grades mit reellen
> Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle
> Nullstelle? Wobei ich das nicht glaube, das müsste ich ja
> dann nochmal beweisen.
Hallo,
die Begründung hängt natürlich von dem ab, was Dir zur Verfügung steht.
Zwei Möglichkeiten:
1. Du weißt, daß bei reellen Polynomem die echt komlexen Nullstellen in Konjugiert-komplexen Paaren auftreten.
2. Möglichkeit: Stetigkeit und Verlauf der Polynomfunktionen dritten Grades, Zwischenwertsatz.
Gruß v. Angela
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