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Forum "Lineare Abbildungen" - Beweis Bijektion
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Beweis Bijektion: f:A->B bijektiv <=> |A|=|B|
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:26 Mo 05.11.2018
Autor: asg

Aufgabe
Es seien $A$ und $B$ endliche Mengen.

Zeige, eine injektive Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ genau dann surjektiv ist, wenn $|A|=|B|$

Hallo zusammen,

ich interpretiere die Aufgabe so:
Sei [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung.
Zeige, $f$ ist injektiv und surjektiv genau dann , wenn $|A|=|B|$

Was wiederum bedeutet: Zeige, $f$ ist bijektiv genau dann , wenn $|A|=|B|$

Richtig?

Dann würde ich den Beweis wie folgt führen:

Annahme: $f$ ist injektiv und surjektiv
(1) Beweis für [mm] $\Rightarrow$: [/mm] $f$ ist injektiv und surjektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] |A|=|B|$
($f$ ist injektiv [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|A| [mm] \le [/mm] |B|$ und $f$ ist surjektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] |A| [mm] \ge [/mm] |B|) [mm] \Rightarrow [/mm] |A|=|B|$

(2) Beweis für [mm] $\Leftarrow$: [/mm] $f$ ist injektiv und surjektiv [mm] $\Leftarrow [/mm] |A|=|B|$
$|A|=|B| [mm] \Rightarrow [/mm] f$ ist bejektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ ist injektiv und surjektiv

Aus (1) und (2) folgt also eine injektive Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ ist genau dann surjektiv, wenn $|A|=|B|$ q.e.d.

Kann bitte jemand drüber schauen?

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Beweis Bijektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Mo 05.11.2018
Autor: hippias

Ich vermute, dass die Aufgabenstellung so lautet: Seien $A$ und $B$ endliche Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1. Für jede Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ gilt, dass $f$ genau dann injektiv ist, wenn $f$ surjektiv ist.
2. $|A|= |B|$

Bei Deinem Beweis der Rückrichtung wäre zu bemängeln, dass Du die aus der Relation $|A|=|B|$ gegebene Bijektion mit aus der Aufgabenstellung gegebene Funktion $f$ gleichsetzt.

Bezug
                
Bezug
Beweis Bijektion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:08 Mo 05.11.2018
Autor: asg

Danke für die schnelle Antwort.

> Ich vermute, dass die Aufgabenstellung so lautet:

Nein, die Aufgabenstellung ist genau eins zu eins wie im Aufgabenblatt.

Ah! Die Rückrichtung muss ich nochmals überdenken. Aber die Hinrichtung ist ok, wenn ich dich richtig interpretiere.

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Beweis Bijektion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Mo 05.11.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Beweis Bijektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:05 Mo 05.11.2018
Autor: fred97

Ich interpretiere die Aufgabe so:

A und B seien endliche Mengen und die Abbildung $f:A [mm] \to [/mm] B$ sei injektiv.

Zeige: f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] |A|=|B|.

Mein Beweis:

Zunächst sei [mm] A=\{a_1,...,a_n\} [/mm] und [mm] B=\{b_1,...,b_m\} [/mm] mit [mm] a_i \ne a_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j und ebenso [mm] b_i \ne b_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.

Dann ist |A|=n und |B|=m. Da f injektiv ist, ist [mm] f(a_i) \ne f(a_j) [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j, also [mm] f(A)=\{f(a_1),...,f(a_n)\} [/mm] und |f(A)|=n.



Nun sei f surjektiv. Dann ist B=f(A) und es folgt m=n.

Sei umgekehrt m=n. Es ist f(A) [mm] \subseteq [/mm] B. Wegen n=m muss f(A)=B sein, f ist also surjektiv.



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