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Hallo!
Hänge mal wieder an/ bei einer Stochastik-Aufgabe:
Für nat. Zahlen n und r sei [mm] [n]_{r}:= \bruch{n!}{(n-r)!}.
[/mm]
Zeige, dass für alle [mm] n\to \infty [/mm] und [mm] \bruch{r}{n} \to [/mm] 0 gilt:
[mm] \bruch{[n]_{r}}{n^{r}}=exp(\bruch{-r^{2}+r}{2n}(1+o(1))).
[/mm]
Berechne mit dieser Approximationsformel die WSK, dass 30 Schüler alle an jeweils versch. Tagen Geb. haben.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Weiß wieder einmal gar nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Vielen Dank schon mal im Voraus!
VlG
Mario
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Mario!
Einex exakten Beweis kann ich dir nicht liefern, da ich mit dem Rumrechnen mit den Landau-Symbolen nicht so richtig vertraut bin. Die Beweisidee sieht auf jeden Fall so aus:
[mm] $\frac{[n]_r}{n^r}$
[/mm]
$= [mm] \prod\limits_{i=1}^r \frac{n-i+1}{n}$
[/mm]
$= [mm] \prod\limits_{i=1}^r \left( 1 - \frac{i-1}{n} \right)$
[/mm]
[mm] $\approx \prod\limits_{i=1}^r \exp \left[ - \frac{i-1}{n} \right]$
[/mm]
$= [mm] \exp \left[ - \sum\limits_{i=1}^r \frac{i-1}{n} \right]$
[/mm]
$= [mm] \exp \left[ - \frac{(r-1)r}{2n} \right]$
[/mm]
$= [mm] \exp \left[ \frac{-r^2+r}{2n}\right]$.
[/mm]
Jetzt musst du "nur noch"  die Zeile mit dem [mm] $\approx$ [/mm] durch eine Gleichheit mit Hilfe eines Landau-Symbos ausdrücken und damit dann bis zum Ende weiterrechnen. Dann müsstest du auf
[mm] $\exp \left[ \frac{-r^2+r}{2n} \red{\cdot ( 1 + o(n))}\right]$
[/mm]
kommen.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Fr 17.12.2004 | | Autor: | adonis1981 |
Hi Julius!
Vielen Dank für Deine nette Hilfe!
Hab den Rest alleine hinbekommen!
Was würde ich nur ohne Dich machen?!
Vielen Dank für Deine nette Hilfe!
VlG
Mario
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