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| Aufgabe | Für jede reelle Zahl a mit $ [mm] a\ge1 [/mm] $ ist eine Funktion $ [mm] f_a [/mm] $ gegeben durch $ [mm] y=f_a(x)=a+sin(ax), x\in\IR. [/mm] $
d) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für die (2n)-te Ableitung der Funktion [mm] f_a [/mm] gilt: [mm] f_a^{(2n)}(x)=(-1)^{n}*a^{2n}*sin(ax), [/mm] weiterhin [mm] n\in\IN, n\ge1! [/mm] |
Hallo Ihr da draußen,
Ableitungen bilden ist hier ja eigentlich nicht schwer:
f(x)=a+sin(ax)
f'(x)=a*cos(ax)
[mm] f''(x)=-a^{2}*sin(ax)
[/mm]
[mm] f'''(x)=-a^{3}*cos(ax)
[/mm]
[mm] f''''(x)=a^{4}*sin(ax)
[/mm]
Zu betrachten sind ja die 2., 4., 6., ......Ableitung. Ich erkenne auch die Systematik. Mein Induktionsanfang ist die 2. Ableitung, da ja in der Aufgabe 2n steht, [mm] f''(x)=-a^{2}*sin(ax), [/mm] aber wie kann ich jetzt weitermachen?
Klaus
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Hallo Zinkerlippe,
Ind.Schritt von 2n auf 2n+2 (2n auf 2(n+1))
IA: [mm] f_a^{(2n)}(x)=(-1)^{n}\cdot{}a^{2n}\cdot{}sin(ax)
[/mm]
zz: [mm] f_a^{(2n+2)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot{}a^{2n+2}\cdot{}sin(ax)
[/mm]
Dazu würde ich [mm] f_a [/mm] aus der IA hernehmen und 2mal ableiten
Hoffe, damit kommst du ans Ziel
Gruß
schachuzipus
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Einen wunderschönen Sonnabend Nachmittag, und Bayern verliert,
Induktionsanfang:
n=1
[mm] f_a^{2n}(x)=(-1)^{n}*a^{2n}*sin(ax)
[/mm]
[mm] f_a^{2}(x)=(-1)^{1}*a^{2}*sin(ax)=-a^{2}*sin(ax)
[/mm]
zu zeigen:
[mm] f_a^{2n}(x)=(-1)^{n}*a^{2n}*sin(ax)
[/mm]
[mm] f_a^{2n+1}(x)=(-1)^{n}*a^{2n+1}*cos(ax)
[/mm]
[mm] f_a^{2n+2}(x)=(-1)^{n}*(-1)*a^{2n+1}*a*sin(ax)
[/mm]
[mm] f_a^{2n+2}(x)=(-1)^{n+1}*a^{2n+2}*sin(ax)
[/mm]
kann dies schon der gesamte Beweis sein??
Klaus
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> Einen wunderschönen Sonnabend Nachmittag, und Bayern
> verliert,
>
> Induktionsanfang:
> n=1
> [mm]f_a^{2n}(x)=(-1)^{n}*a^{2n}*sin(ax)[/mm]
>
> [mm]f_a^{2}(x)=(-1)^{1}*a^{2}*sin(ax)=-a^{2}*sin(ax)[/mm]
>
> zu zeigen:
>
> [mm]f_a^{2n}(x)=(-1)^{n}*a^{2n}*sin(ax)[/mm]
>
> [mm]f_a^{2n+1}(x)=(-1)^{n}*a^{2n+1}*cos(ax)[/mm]
>
> [mm]f_a^{2n+2}(x)=(-1)^{n}*(-1)*a^{2n+1}*a*sin(ax)[/mm]
>
> [mm]f_a^{2n+2}(x)=(-1)^{n+1}*a^{2n+2}*sin(ax)[/mm]
>
> kann dies schon der gesamte Beweis sein??
>
> Klaus
Moin Klaus,
warum nicht?
Nur den Induktionsschritt [mm] (2n\rightarrow [/mm] 2n+2) noch schön "verpacken":
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus, was meinst du mit "den Induktionsschritt noch schön verpacken"??
Klaus
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Hi,
in den Rahmen des Ind.beweises:
[mm] \underline{IA}:n=1 [/mm]
....
[mm] \underline{Ind.Schritt}: 2n\rightarrow [/mm] 2n+2
[mm] \underline{IndVor/Ind.Ann}: f_a^{2n}(x)=(-1)^{n}\cdot{}a^{2n}\cdot{}sin(ax)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_a^{2n+1}(x)=...
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_a^{2n+2}(x)=....=(-1)^{n+1}\cdot{}a^{2n+2}\cdot{}sin(ax)
[/mm]
Also gilt die Beh für alle [mm] k\in \IN [/mm] mit k=2n
So in der Art, halt mit bissl Kommentar dran 
Gruß
schachuzipus
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