Beweis: Abbildungen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Begründen Sie: Wenn eine durch eine Abbildungsvorschrift [mm]\alpha: \vec x'=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\vec x[/mm] gegebene Abbildung zwei verschiedene Punkte auf den gleichen Punkt abbildet, dann bildet sie mindestens einen vom Ursprung verschiedenen Punkt auf den Ursprung ab. Tipp: Betrachten Sie die Differenz der Ortsvektoren der beiden Punkte, die auf den gleichen Punkt abgebildet werden. |
Hallo zusammen:
Zur Aufgabe: Für zwei verschiedene Punkte [mm]P={p_1 \choose p_2}[/mm] und [mm]Q={q_1 \choose q_2}[/mm] muss doch laut Aufgabenstellung gelten:
[mm]P'=Q'[/mm].
Nun bin ich mithilfe der Koordinatenfunktionen ([mm]\vec x'_1=a*\vec x_1+b*\vec x_2[/mm] und [mm]\vec x'_2=c*\vec x_1+d*\vec x_2[/mm]) und dem "Tipp" aus der Aufgabenstellung auf folgende Gleichungen gekommen:
[mm]a*(p_1-q_1)+b*(p_2-q_2)=0[/mm] und
[mm]c*(p_1-q_1)+d*(p_2-q_2)=0[/mm]
"Gleich Null" da die Differenz der Ortsvektoren der Abbildungen ja Null sein muss (sie Verweisen ja laut Aufgabe auf denselben Punkt).
So...leider weiß ich nicht wirklich, wie ich jetzt weitergehen soll oder ob ich überhaupt der richtigen "Spur" gefolgt bin. Für einen der Punkte den Ursprung einzusetzten, also [mm]O={0 \choose 0}[/mm], hat mir leider auch nicht die Erleuchtung gebracht. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
eigentlich bist du so gut wie fertig, denn deine Gleichungen zeigen, dass der Differenzvektor [mm] $\vec{p}-\vec{q}$ [/mm] auf 0 abgebildet wird. Wir können deine beiden Gleichungen ja zusammenfassen zu:
[mm] $\pmat{ a & b \\ c & d }\vektor{p_1 - q_1\\ p_2 - q_2} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0}$
[/mm]
Nochmal in aller Kürze: Wenn [mm] $\vec{p}$ [/mm] und [mm] $\vec{q}$ [/mm] durch die lineare Abbildung $a$ auf denselben Vektor abgebildet werden, dann gilt:
[mm] $a(\vec{p}-\vec{q}) [/mm] = [mm] a(\vec{p}) [/mm] - [mm] a(\vec{q}) [/mm] = 0$
Gruß
Martin
|
|
|
| |
|
Deine Lösung kann ich nachvollziehen. Danke schön. Hatte nicht gesehen, dass man das in eine Matrix packen konnte.
Nur noch eine kurze Frage, ob ich das jetzt richtig verstanden habe. Im letzten Aufgabenteil heißt es ja: "dann bildet sie mindestens einen vom Ursprung verschiedenen Punkt auf den Ursprung ab.".
Das bedeutet, dass man bei [mm]a(\vec{p}) - a(\vec{q}) = 0[/mm] für einen Punkt Null einsetzen soll, wodurch man entweder [mm]a(\vec{p}) = 0[/mm] oder [mm]-a(\vec{q}) = 0[/mm] herausbekommt, was zeigt, dass es mindestens einen weiteren Punkt außer Null gibt, in meinem Fall entweder Q oder P (je nach dem, wofür man Null einsetzt), dessen Abbildung auf Null liegt? Oder ist das als "Begründungsschritt" überflüssig?
|
|
|
| |
|
Da hast du etwas missverstanden. Es wird der Differenzvektor [mm] $\vec{p}-\vec{q}$ [/mm] auf den Nullvektor abgebildet. Du musst nicht mehr einsetzen.
Wir sind ja davon ausgegangen, dass wir geeignete Vektoren [mm] $\vec{p}$ [/mm] und [mm] $\vec{q}$ [/mm] haben. Also können wir auch deren Differenzvektor bilden. Und dann hast du nachgerechnet, dass eben dieser Differenzvektor durch $a$ auf den Nullvektor abgebildet wird. Fertig.
Gruß
Martin
|
|
|
| |
|
Ah...ein Licht geht auf. Danke nochmal. Jetzt ist alles klar.
|
|
|
|
