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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 Do 26.10.2006 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Sei $f: [mm] X\to [/mm] Y$ eine Abbildung. Zeigen Sie:
Für [mm] $N_1, N_2 \in [/mm] Y$ gilt:
[mm] $f^{-1}(N_1 \cap N_2) [/mm] = [mm] f^{-1}(N_1)\cap f^{-1}(N_2)$ [/mm] |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe da oben ein Problem, einen vernünftigen Ansatz zu finden.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen.
Gruß
Docy
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> Sei [mm]f: X\to Y[/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie:
> Für [mm]N_1, N_2 \in Y[/mm] gilt:
> [mm]f^{-1}(N_1 \cap N_2) = f^{-1}(N_1)\cap f^{-1}(N_2)[/mm]
Hallo,
bevor Du anfängst, irgendetwas zu beweisen, solltest Du Dir klarmachen, was mit [mm] f^{-1}(N_1), f^{-1}(N_2) [/mm] und [mm] f^{-1}(N_1 \cap N_2) [/mm] gemeint ist.
Wenn Du eine Menge N hast, welche x liegen dann in [mm] f^{-1}(N)?
[/mm]
Dann ist im Beweis die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen.
Dies zerlegt man in zwei Teile, in welchen man zeigt, daß jede jeweils Teilmenge der anderen ist:
Beh.: A=B.
zu zeigen 1. A [mm] \subseteq [/mm] B
2. B [mm] \subseteq [/mm] A
Wie zeigt man A [mm] \subseteq [/mm] B?
Das bedeutet ja, daß jedes Element von A auch in B liegt.
Wie zeigt man das? Man nimmt sich ein beliebiges Element aus A und zeigt, daß es in B liegt. So:
Sei x [mm] \in [/mm] A
==> ...
==> x [mm] \in [/mm] B
Genauso tu es in Deiner Aufgabe!
Du hast also zu zeigen
1. [mm]f^{-1}(N_1 \cap N_2) \subseteq f^{-1}(N_1)\cap f^{-1}(N_2)[/mm]
und
2. [mm] f^{-1}(N_1)\cap f^{-1}(N_2)\subseteq f^{-1}(N_1 \cap N_2)
[/mm]
zu1.
Sei [mm] x\in f^{-1}(N_1 \cap N_2)
[/mm]
==> es gibt ein y [mm] \in N_1 \cap N_2 [/mm] mit f(x)=y
==>...
Ich hoffe, Dich auf die richtige Spur gestellt zu haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Do 26.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo angela.h.b.,
sorry, ich hätte das vielleicht erwähnen sollen, und zwar liegt mein problem genau da, wo du aufgehört hast!!!
> Wenn Du eine Menge N hast, welche x liegen dann in
> [mm]f^{-1}(N)?[/mm]
alle [mm] x\in [/mm] X für die gilt f(x)=y [mm] \in [/mm] N.
Den Beweisanfang wie du ihn aufgeschrieben hast, hab ich so auch auf meinem Notizzettel stehen  . Und an der Stelle, wo du aufgehört hast, komme ich leider nicht weiter.....
Nochmal sorry, war mein Fehler, dass ich meine Ergebnisse nicht gepostet habe....
Gruß
Docy
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> Und an der Stelle,
> wo du aufgehört hast, komme ich leider nicht weiter.....
Dann hast Du eingentlich kein Problem, Du bist so gut wie fertig.
Was bedeutet denn z [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo angela.h.b.,
kann ich jetzt einfach sagen, dass aus:
x [mm] \in N_1\cap N_2 [/mm] folgt: x [mm] \in N_1 \wedge [/mm] x [mm] \in N_2 [/mm] und dass aus:
[mm] f^{-1}(x \in N_1 \wedge N_2)=f^{-1}(x \in N_1)\wedge f^{-1}(x \in N_2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f^{-1}(N_1\cap N_2)=f^{-1}(N_1)\capf^{-1}(N_2).
[/mm]
Ist es so richtig?
Gruß
Docy
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> Hallo angela.h.b.,
> kann ich jetzt einfach sagen, dass aus:
>
> x [mm]\in N_1\cap N_2[/mm] folgt: x [mm]\in N_1 \wedge[/mm] x [mm]\in N_2[/mm] und
> dass aus:
>
> [mm]f^{-1}(x \in N_1 \wedge N_2)=f^{-1}(x \in N_1)\wedge f^{-1}(x \in N_2)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(N_1\cap N_2)=f^{-1}(N_1)\capf^{-1}(N_2).[/mm]
Nein, so kannst Du das nicht schreiben. [mm] f^{-1}(x \in N_1) [/mm] ist doch gar nicht definiert.
Mach's so (oder ähnlich)
Sei $ [mm] x\in f^{-1}(N_1 \cap N_2) [/mm] $
==> es gibt ein y $ [mm] \in N_1 \cap N_2 [/mm] $ mit f(x)=y
==> f(x)=y [mm] \in N_1 [/mm] und f(x)=y [mm] \in N_2
[/mm]
==> ???
Gruß v. Angela
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