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Beweis Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:35 Do 26.10.2006
Autor: Docy

Aufgabe
Sei $f: [mm] X\to [/mm] Y$ eine Abbildung. Zeigen Sie:
Für [mm] $N_1, N_2 \in [/mm] Y$ gilt:
[mm] $f^{-1}(N_1 \cap N_2) [/mm] = [mm] f^{-1}(N_1)\cap f^{-1}(N_2)$ [/mm]

Hallo,
ich habe bei der Aufgabe da oben ein Problem, einen vernünftigen Ansatz zu finden.

Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen.

Gruß
Docy

        
Bezug
Beweis Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Do 26.10.2006
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]f: X\to Y[/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie:
>  Für [mm]N_1, N_2 \in Y[/mm] gilt:
>  [mm]f^{-1}(N_1 \cap N_2) = f^{-1}(N_1)\cap f^{-1}(N_2)[/mm]

Hallo,

bevor Du anfängst, irgendetwas zu beweisen, solltest Du Dir klarmachen, was mit [mm] f^{-1}(N_1), f^{-1}(N_2) [/mm] und [mm] f^{-1}(N_1 \cap N_2) [/mm]  gemeint ist.
Wenn Du eine Menge N hast, welche x liegen dann in [mm] f^{-1}(N)? [/mm]

Dann ist im Beweis die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen.
Dies zerlegt man in zwei Teile, in welchen man zeigt, daß jede jeweils Teilmenge der anderen ist:

Beh.: A=B.
    zu zeigen 1. A [mm] \subseteq [/mm] B
                    2. B [mm] \subseteq [/mm] A


Wie zeigt man A [mm] \subseteq [/mm] B?
Das bedeutet ja, daß jedes Element von A auch in B liegt.
Wie zeigt man das? Man nimmt sich ein beliebiges Element aus A und zeigt, daß es in B liegt. So:

Sei x [mm] \in [/mm] A
==> ...  
==> x [mm] \in [/mm] B

Genauso tu es in Deiner Aufgabe!

Du hast also zu zeigen
1. [mm]f^{-1}(N_1 \cap N_2) \subseteq f^{-1}(N_1)\cap f^{-1}(N_2)[/mm]
und
2.  [mm] f^{-1}(N_1)\cap f^{-1}(N_2)\subseteq f^{-1}(N_1 \cap N_2) [/mm]

zu1.
Sei [mm] x\in f^{-1}(N_1 \cap N_2) [/mm]
==> es gibt ein y [mm] \in N_1 \cap N_2 [/mm] mit f(x)=y
==>...

Ich hoffe, Dich auf die richtige Spur gestellt zu haben.

Gruß v. Angela





Bezug
                
Bezug
Beweis Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Do 26.10.2006
Autor: Docy

Hallo angela.h.b.,
sorry, ich hätte das vielleicht erwähnen sollen, und zwar liegt mein problem genau da, wo du aufgehört hast!!!

>  Wenn Du eine Menge N hast, welche x liegen dann in
> [mm]f^{-1}(N)?[/mm]

alle [mm] x\in [/mm] X für die gilt f(x)=y [mm] \in [/mm] N.

Den Beweisanfang wie du ihn aufgeschrieben hast, hab ich so auch auf meinem Notizzettel stehen :-). Und an der Stelle, wo du aufgehört hast, komme ich leider nicht weiter.....

Nochmal sorry, war mein Fehler, dass ich meine Ergebnisse nicht gepostet habe....

Gruß
Docy

Bezug
                        
Bezug
Beweis Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Do 26.10.2006
Autor: angela.h.b.


> Und an der Stelle,
> wo du aufgehört hast, komme ich leider nicht weiter.....

Dann hast Du eingentlich kein Problem, Du bist so gut wie fertig.

Was bedeutet denn z [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B ???

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Beweis Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:40 Fr 27.10.2006
Autor: Docy

Hallo angela.h.b.,
kann ich jetzt einfach sagen, dass aus:

x [mm] \in N_1\cap N_2 [/mm] folgt: x [mm] \in N_1 \wedge [/mm] x [mm] \in N_2 [/mm] und dass aus:

[mm] f^{-1}(x \in N_1 \wedge N_2)=f^{-1}(x \in N_1)\wedge f^{-1}(x \in N_2) [/mm]

[mm] \Rightarrow f^{-1}(N_1\cap N_2)=f^{-1}(N_1)\capf^{-1}(N_2). [/mm]

Ist es so richtig?

Gruß
Docy

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Fr 27.10.2006
Autor: angela.h.b.


> Hallo angela.h.b.,
>  kann ich jetzt einfach sagen, dass aus:
>  
> x [mm]\in N_1\cap N_2[/mm] folgt: x [mm]\in N_1 \wedge[/mm] x [mm]\in N_2[/mm] und
> dass aus:
>  
> [mm]f^{-1}(x \in N_1 \wedge N_2)=f^{-1}(x \in N_1)\wedge f^{-1}(x \in N_2)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(N_1\cap N_2)=f^{-1}(N_1)\capf^{-1}(N_2).[/mm]

Nein, so kannst Du das nicht schreiben. [mm] f^{-1}(x \in N_1) [/mm] ist doch gar nicht definiert.

Mach's so (oder ähnlich)
Sei $ [mm] x\in f^{-1}(N_1 \cap N_2) [/mm] $
==> es gibt ein y $ [mm] \in N_1 \cap N_2 [/mm] $ mit f(x)=y
==> f(x)=y [mm] \in N_1 [/mm] und f(x)=y [mm] \in N_2 [/mm]
==> ???

Gruß v. Angela

Bezug
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