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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 17.07.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe 1 | | Man beweise: Aus [mm] \limes_{n \to \infty}a_n [/mm] = a folgt [mm] \limes_{n \to \infty}\left| a_n \right| [/mm] = [mm] \left| a_n \right| [/mm] . |
| Aufgabe 2 | | Ist die Umkehrung auch wahr? |
Ich habe leider wenig Erfahrung in Beweisführung, lerne zudem nur nach Buch, deswegen fehlt mir nahezu jeglicher Ansatz, ich vermute lediglich, dass die Umkehrung nicht gilt, allerdings nur intuitiv.
Freue mich dennoch auf Unterstützung jeder Art.
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Axiom96, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast schonmal die richtige Intuition. Das ist oft hilfreich, aber leider nicht immer...
> Man beweise: Aus [mm] \limes_{n \to \infty}a_n[/mm] = a folgt
> [mm] \limes_{n \to \infty}\left| a_n \right|[/mm] = [mm]\left| a_n \right|[/mm]
> .
> Ist die Umkehrung auch wahr?
Da hast Du hoffentlich nur einen Schreibfehler drin, ansonsten ist die ganze Aufgabe Schwachsinn:
Aus [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a [/mm] folgt [mm] \lim_{n\to\infty}|a_n|=\blue{|a|}
[/mm]
> Ich habe leider wenig Erfahrung in Beweisführung, lerne
> zudem nur nach Buch, deswegen fehlt mir nahezu jeglicher
> Ansatz, ich vermute lediglich, dass die Umkehrung nicht
> gilt, allerdings nur intuitiv.
Wie gesagt, Deine Intuition ist gut: die Umkehrung gilt in der Tat nicht.
Fang mal ganz rechts an. Es gibt ja nur die beiden Möglichkeiten |a|=a und |a|=-a. Im ersten Fall ist die Sache ja ganz einfach.
Der zweite Fall erfordert wenig mehr Überlegung, bei der aber dann auch gleich mit abfällt, warum die Umkehrung nicht stimmt.
Probier also mal, diese Fallunterscheidung zu treffen. Sie ist nicht nötig, um den Beweis zu führen, aber sie macht ihn einfacher.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:15 Mi 18.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise: Aus [mm] \limes_{n \to \infty}a_n[/mm] = a folgt
> [mm] \limes_{n \to \infty}\left| a_n \right|[/mm] = [mm]\left| a_n \right|[/mm]
> .
Tipp: [mm] ||a_n|-|a|| \le |a_n-a|
[/mm]
> Ist die Umkehrung auch wahr?
Nein. Finde ein geeignetes Beispiel.
FRED
> Ich habe leider wenig Erfahrung in Beweisführung, lerne
> zudem nur nach Buch, deswegen fehlt mir nahezu jeglicher
> Ansatz, ich vermute lediglich, dass die Umkehrung nicht
> gilt, allerdings nur intuitiv.
>
> Freue mich dennoch auf Unterstützung jeder Art.
>
> Vielen Dank.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man beweise: Aus [mm] \limes_{n \to \infty}a_n[/mm] = a folgt
> [mm] \limes_{n \to \infty}\left| a_n \right|[/mm] = [mm]\left| \red{a} \right|[/mm]
> .
beweise dazu, dass [mm] $\big|\;\;|x|-|y|\;\;\big| \le [/mm] |x-y|$ gilt. Wende das nun an wie folgt
[mm] $$\big|\;\;|a_n|-|a|\;\;\big| \le |a_n-a|\,.$$
[/mm]
> Ist die Umkehrung auch wahr?
> Ich habe leider wenig Erfahrung in Beweisführung, lerne
> zudem nur nach Buch, deswegen fehlt mir nahezu jeglicher
> Ansatz, ich vermute lediglich, dass die Umkehrung nicht
> gilt, allerdings nur intuitiv.
Betrachte [mm] $a_n:=(-1)^n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Man beweise: Aus $ [mm] \limes_{n \to \infty}a_n [/mm] $ = a folgt $ [mm] \limes_{n \to \infty}\left| a_n \right| [/mm] $ = $ [mm] \left| a \right| [/mm] $ . |
Zuersteinmal war das tatsächlich ein Schreibfehler, natürlich war der Betrag von a gemeint.
Wenn ich das zweimal genannte $ [mm] ||a_n|-|a|| \le |a_n-a| [/mm] $ verwende, was ja, wenn ich mich recht erinnere eine Folgerung aus der Dreiecksungleichung ist, erhalte ich ja aus der Definition der Konvergenz für die zu beweisende Implikation: [mm] \limes_{n \to \infty}\left|a_n\right| [/mm] = [mm] \left|a\right| \gdw [/mm] Für jedes [mm] \epsilon \in [/mm] K, [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] N_\epsilon \in \IN [/mm] sodass für alle [mm] n>N_\epsilon [/mm] gilt: [mm] \left|\left|a_n\right|-\left|a\right|\right|\le\left|a_n - a\right|<\epsilon [/mm] , was sich ja aus $ [mm] \limes_{n \to \infty}a_n [/mm] $ = a ergibt. Allerdings denke ich, dass ich hier irgendwo einen Denkfehler habe und dass die Sache so einfach dann doch nicht ist, zumal ich hieran nicht erkennen kann, wieso die Umkehrung nicht wahr sein sollte.
Das lässt sich allerdings leicht mit der von Marcel angeführten alterierenden Reihe [mm] a_n=(-1)^n [/mm] zeigen, die zwar zwei Häufungspunkte, aber keinen Grenzwert hat, insbesondere nicht 1, für die aber gilt: $ [mm] \limes_{n \to \infty}\left| (-1)^n \right| [/mm] $ = $ [mm] \left| 1 \right| [/mm] $ = 1 , also als Beweis durch Gegenbeispiel. Trotzdem würde mich auch hier eine etwas formalistischere Lösung mindestens interessieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mi 18.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise: Aus [mm]\limes_{n \to \infty}a_n[/mm] = a folgt
> [mm]\limes_{n \to \infty}\left| a_n \right|[/mm] = [mm]\left| a \right|[/mm]
> .
> Zuersteinmal war das tatsächlich ein Schreibfehler,
> natürlich war der Betrag von a gemeint.
>
> Wenn ich das zweimal genannte [mm]||a_n|-|a|| \le |a_n-a|[/mm]
> verwende, was ja, wenn ich mich recht erinnere eine
> Folgerung aus der Dreiecksungleichung ist, erhalte ich ja
> aus der Definition der Konvergenz für die zu beweisende
> Implikation: [mm]\limes_{n \to \infty}\left|a_n\right|[/mm] =
> [mm]\left|a\right| \gdw[/mm] Für jedes [mm]\epsilon \in[/mm] K, [mm]\epsilon[/mm] > 0
> existiert ein [mm]N_\epsilon \in \IN[/mm] sodass für alle
> [mm]n>N_\epsilon[/mm] gilt:
> [mm]\left|\left|a_n\right|-\left|a\right|\right|\le\left|a_n - a\right|<\epsilon[/mm]
> , was sich ja aus [mm]\limes_{n \to \infty}a_n[/mm] = a ergibt.
> Allerdings denke ich, dass ich hier irgendwo einen
> Denkfehler habe und dass die Sache so einfach dann doch
> nicht ist,
Doch , so einfach ist das.
> zumal ich hieran nicht erkennen kann, wieso die
> Umkehrung nicht wahr sein sollte.
Du hast doch unten ein Gegenbeispiel !
FRED
>
> Das lässt sich allerdings leicht mit der von Marcel
> angeführten alterierenden Reihe [mm]a_n=(-1)^n[/mm] zeigen, die
> zwar zwei Häufungspunkte, aber keinen Grenzwert hat,
> insbesondere nicht 1, für die aber gilt: [mm]\limes_{n \to \infty}\left| (-1)^n \right|[/mm]
> = [mm]\left| 1 \right|[/mm] = 1 , also als Beweis durch
> Gegenbeispiel. Trotzdem würde mich auch hier eine etwas
> formalistischere Lösung mindestens interessieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Doch , so einfach ist das.
Das ist schonmal schön
> > zumal ich hieran nicht erkennen kann, wieso die
> > Umkehrung nicht wahr sein sollte.
>
> Du hast doch unten ein Gegenbeispiel !
>
Das bezog sich noch auf die erste Antwort von Reverend, der schreibt aus dem Beweis ließe sich direkt folgern, dass die Umkehrung nicht gelte.
> FRED
Vielen Dank noch einmal an alle
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