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Betragsungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Sa 19.05.2012
Autor: Mathe-Andi

Wie vereinige ich denn folgende Teillösungsmengen?

Die Aufgabe lautet |x-1| [mm] \ge [/mm] |x+2|

Fall 1a

x-1 [mm] \ge [/mm] 0
x+2 [mm] \ge [/mm] 0

x [mm] \ge [/mm] 1
x [mm] \ge [/mm] -2
0 [mm] \ge [/mm] 3

Fall 1b

x-1 [mm] \ge [/mm] 0
x+2 < 0

x [mm] \ge [/mm] 1
x > -2
x [mm] \ge [/mm] -0,5

Fall 2a

x-1 < 0
x+2 [mm] \ge [/mm] 0

x > 1
x [mm] \ge [/mm] -2
x [mm] \le [/mm] -0,5

Fall 2b

x-1 < 0
x+2 < 0

x > 1
x > -2
0 [mm] \ge [/mm] -3

Meine Überlegungen

Fall 1a
ist falsch, da die letzte Aussage immer falsch ist. Dieser Fall wird nicht weiter beachtet.

Fall 1b
ich vereinige die drei Ungleichungen in x [mm] \ge [/mm] 1

Fall 2a
ich kann zwar die korrekte Aussage treffen -0,5 [mm] \ge [/mm] x [mm] \ge [/mm] -2, dennoch steht dies dann mit x > 1 im Widerspruch.
Und die Aussage -0,5 [mm] \ge [/mm] x > 1 ist nicht erfüllbar.
Ich formuliere es also so: -0,5 [mm] \ge [/mm] x [mm] \vee [/mm] x > 1

Fall 2b
die Ungleichung 0 [mm] \ge [/mm] -3 ist immer gültig. Bleiben noch die anderen beiden, die ich zu x > 1 vereinige.


Vereinigen aller Teillösungsmengen zur Gesamtlösungsmenge

x [mm] \ge [/mm] 1
x [mm] \le [/mm] -0,5
x > 1
x > 1


Ich würde es so formulieren:

[mm] \IL=\{x| x \le -0,5 \vee x > 1\} [/mm]

Warum ist x > 1 aber falsch? Meine Lösungen sagen, dass [mm] y_{1} \ge y_{2} [/mm] nur für x [mm] \le [/mm] -0,5 erfüllt ist.

x > 1 resultiert doch aber aus der Falluntersuchung aller Fälle und es müsste dafür doch auch gültig sein!?


        
Bezug
Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Sa 19.05.2012
Autor: rabilein1


> Die Aufgabe lautet |x-1| [mm]\ge[/mm] |x+2|

Das Einfachste ist meines Erachtens:
Du zeichnest den Graph von f(x) = |x-1|, dann von g(x) = |x+2|
und dann schaust du, wo  f(x) [mm]\ge[/mm] g(x) ist.

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Betragsungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Sa 19.05.2012
Autor: Mathe-Andi

Der Graph ist abgebildet. An ihm sieht man das. Wie kann ich aber rechnerisch aussagen, dass x > 1 falsch ist?

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Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Sa 19.05.2012
Autor: M.Rex

Hallo


> Der Graph ist abgebildet. An ihm sieht man das. Wie kann
> ich aber rechnerisch aussagen, dass x > 1 falsch ist?

Du hast:

[mm] $|x-1|\ge|x+2|$ [/mm]

Betrachten wir den Fall x>1, dann sind sowohl x-1 als auch x+2 größer als Null, und man kann die Betragsstriche Weglassen, also:

[mm] $|x-1|\ge|x+2|$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow x-1\ge [/mm] x+2$
[mm] $\Leftrightarrow -1\ge2$ [/mm]

Und das ist eine Falschaussage, also hat dieser Fall keine Lösung.

Marius


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Betragsungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 Sa 19.05.2012
Autor: Mathe-Andi

Klasse, so einfach. Danke! :-)

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Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 So 20.05.2012
Autor: fred97

Ohne Fallunterscheidung:

|x-1| $ [mm] \ge [/mm] $ |x+2|  [mm] \gdw (x-1)^2 \ge (x+2)^2 \gdw [/mm] ....    jetzt Du.

FRED


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