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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Betragsgleichung

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Betragsgleichung: Korrektur

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:29 So 05.12.2010
Autor:	Jasper1987

Aufgabe

 Bestimmten Sie rechnerisch

[mm] M=\{z\in\IC|  |z-4|=|z+4|\} [/mm]

Zur Bestimmung der Menge habe ich wie folgt gerechnet:

|z-4|=|z+4|
[mm] \gdw [/mm] |a+bi-4|=|a+bi +4|
[mm] \gdw |(a-4)+bi|^2=|(a+4)+bi|^2 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] ((a-4)+bi) ((a-4)-bi)=((a+4)+bi) ((a-4)-bi)
[mm] \gdw (a-4)^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] (a+4)^2 +b^2 [/mm]
[mm] \gdw (a-4)^2 =(a+4)^2 [/mm]
[mm] \gdw a^2- [/mm] 4a + 16 = [mm] a^2 [/mm] + 4a + 16
[mm] \gdw a^2-4a=a^2+4a [/mm]
[mm] \gdw [/mm] a-4=a+4
[mm] \gdw [/mm] a= a+8

Ich weiß jetzt aber nicht was ich damit anfangen soll bzw. denk ich mal, dass ich einen Fehler gemacht habe.

Kann mir da einer von euch weiterhelfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Betragsgleichung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:05 So 05.12.2010
Autor:	reverend

Hallo Jasper, [willkommenmr]

da bricht Dir ein einziger Rechenfehler direkt das Genick...

> Bestimmten Sie rechnerisch
>
> [mm]M=\{z\in\IC| |z-4|=|z+4|\}[/mm]

>
>  Zur Bestimmung der Menge habe
> ich wie folgt gerechnet:
>
> |z-4|=|z+4|
>  [mm]\gdw[/mm] |a+bi-4|=|a+bi +4|

> [mm]\gdw |(a-4)+bi|^2=|(a+4)+bi|^2[/mm]

aber eigentlich kannst Du an dieser Stelle schon die Betragsstriche durch Klammern ersetzen.
> [mm]\gdw[/mm] ((a-4)+bi)((a-4)-bi)=((a+4)+bi)((a-4)-bi)

Hier multiplizierst Du beide Seiten mit dem Term ((a-4)-bi). Dazu darf nicht gelten: a=4, b=0.
> [mm]\gdw (a-4)^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = [mm](a+4)^2 +b^2[/mm]

Das stimmt nicht. Rechne nochmal nach!
Ab hier ist damit alles bedeutungslos. Aber auch da hätte es noch einen Schnitzer gegeben:

> [mm]\gdw (a-4)^2 =(a+4)^2[/mm]
> [mm]\gdw a^2-[/mm] 4a + 16 = [mm]a^2[/mm] + 4a + 16

> [mm]\gdw a^2-4a=a^2+4a[/mm]

Diese Gleichung besitzt noch genau eine Lösung!
> [mm]\gdw[/mm] a-4=a+4

Diese Gleichung dagegen ist nicht mehr lösbar. Subtrahiere auf beiden Seiten a.
>  [mm]\gdw[/mm] a= a+8
>
> Ich weiß jetzt aber nicht was ich damit anfangen soll bzw.
> denk ich mal, dass ich einen Fehler gemacht habe.

Ja, das wäre ein Widerspruch. Leider führst Du aber gerade keinen Widerspruchsbeweis.

Also neu rechnen.
Man könnte auch anders vorgehen: Was ist denn der geometrische Ort aller Punkte mit |z-4|=c in der Zahlenebene? Und was ist der Ort der Punkte mit |z+4|=c? Dabei ist natürlich [mm] c\in\IR^+ [/mm] anzunehmen.
Und was heißt dann |z+4|=|z-4|, wenn c beliebig ist?

Grüße
reverend
> Kann mir da einer von euch weiterhelfen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.