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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 So 27.08.2006 | | Autor: | lauravr |
Hallo,
ich habe eine kleine Frage.
Für die Betragsfunktion f(x) = | x - [mm] \bruch{x²}{4} [/mm] | muss man ja für x>0 und x<0 unterscheiden.
Für x>0 gilt ja f(x) = x - [mm] \bruch{x²}{4}
[/mm]
Und für x<0 ?
Gilt da f(x) = - x - [mm] \bruch{(-x)²}{4} [/mm] oder f(x) = - ( x - [mm] \bruch{x²}{4} [/mm] ) ??
Lg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 27.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
> Für die Betragsfunktion f(x) = | x - [mm]\bruch{x²}{4}[/mm] | muss
> man ja für x>0 und x<0 unterscheiden.
Das stimmt so nicht ganz ... Du musst unterscheiden zwischen $... \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ bzw. $... \ < \ 0$ von dem ganzen Term, der zwischen den Betragsstrichen steht; also: $x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ oder $x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] \ < \ 0$ .
Damit gilt dann:
[mm]{f(x) \ = \ \left| x - \bruch{x^2}{4}\right| \ = \ \begin{cases} +\left(x - \bruch{x^2}{4}\right), & \mbox{für } x - \bruch{x^2}{4} \ \ge \ 0 \mbox{ } \\ -\left(x - \bruch{x^2}{4}\right), & \mbox{für } x - \bruch{x^2}{4} \ < \ 0 \mbox{ } \end{cases}}[/mm]
Wann gilt nun $x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ oder $x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] \ < \ 0$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 27.08.2006 | | Autor: | lauravr |
> Wann gilt nun $x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ oder $x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] \ < \ 0$ ?
$x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ gilt wenn 4 [mm] \ge [/mm] x und $x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] \ < \ 0$ wenn 4 < x . (Oder?)
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Hi, lauravr,
> > Wann gilt nun [mm]x - \bruch{x^2}{4} \ \ge \ 0[/mm] oder [mm]x - \bruch{x^2}{4} \ < \ 0[/mm]
> ?
>
>
> [mm]x - \bruch{x^2}{4} \ \ge \ 0[/mm] gilt wenn 4 [mm]\ge[/mm] x und [mm]x - \bruch{x^2}{4} \ < \ 0[/mm]
> wenn 4 < x . (Oder?)
Nein!
Am besten, Du stellst Dir die linke Seite als Funktionsterm einer Parabel vor.
Diese Parabel
- ist nach UNTEN geöffnet (denn beim [mm] x^{2} [/mm] steht ein Minuszeichen) und
- schneidet die x-Achse bei x=0 und bei x=4 (was Du leicht rauskriegst, wenn Du x ausklammerst!)
So.
Und [mm] "\ge [/mm] 0" heißt soviel wie "oberhalb der x-Achse" (einschließlich der Nullstellen)
bzw. "< 0" heißt "unterhalb der x-Achse" (ohne die Nullstellen).
Wenn Du die oben beschriebene Parabel mal zeichnest (grobe Skizze reicht!), so siehst Du:
Die liegt zwischen den beiden Nullstellen oberhalb und rechts und links davon unterhalb.
Daher gilt:
x - [mm] \bruch{x^2}{4} \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4
bzw.
x - [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 0 [mm] \vee [/mm] x > 4
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 So 27.08.2006 | | Autor: | Palin |
Nun der Betrag macht nichts anderes als den Term der Zwischen den Betragsstrichen steht positiv, du must also eine Fall unterscheidung machen wenn der Term negativ wir .
Und ihn dann so umformen das der Term "positiv" ist.
Also für x<0 kannst dur f(x) | x+ [mm] x^2/4 [/mm] | Betrachten und davon ausgehen das in dem umgestelten Term alle x>0 sind.
Hier soltest du noch drauf achten das für Große x der Term wider negativ wird und umgestelt werden muß.
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