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| Aufgabe | Es seien z1 = [mm] (\bruch{1+i}{1-i})^{100} [/mm] und z2 = [mm] (1+i)^{n} [/mm] + [mm] (1-i)^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt:
a) |z1|
b) arg(z1)
c) |z2|
d) arg(z2) |
Also mal wieder ich und mal wieder komplexe Zahlen.
a)
[mm] (\bruch{1+i}{1-i})^{100}
[/mm]
[mm] (\bruch{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)})^{100}
[/mm]
[mm] (\bruch{(2i)}{(2)})^{100}
[/mm]
[mm] i^{100}
[/mm]
und das ist doch -i oder?
ist a) dann [mm] \wurzel{1² + 1²} [/mm] oder ist a) [mm] \wurzel{1^{2}}? [/mm] (Ist z jetzt das errechnete "i" oder "1 + i"?
und ist b) dann [mm] argtan(\bruch{0}{1}) [/mm] oder ist b) [mm] argtan(\bruch{1}{0})
[/mm]
bzw atan(1,0) oder atan(0,1)?
Oder hab ich da irgendwas falsch gemacht?
Und für die zweite Gleichung?
z2 = [mm] (1+i)^{n} [/mm] + [mm] (1-i)^{n}
[/mm]
das wär ja dann [mm] z^{n} [/mm] + [mm] \overline{z}^{n}
[/mm]
also ist |z2| = [mm] (z^{n})(\overline{z}^{n}) [/mm] = [mm] \wurzel{1² + 1²}^{n}?
[/mm]
Ich denke mal da bin ich auf dem falschen Weg. Aber was mache ich falsch?
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stimmt [mm] i^{100} [/mm] ist 1 anstatt -i
denn [mm] i^{100} [/mm] ist doch nix anderes als i² [mm] \* [/mm] i² [mm] \* [/mm] i² und das 50 mal oder? und da 50 eine grade zahl ist ergibt sich dann 1 oder?
Und das ist doch ein Punkt ohne imaginärteil oder? also ist das Argument dieser Zahl doch null wenn man sie mal in der Zahlenebene betrachtet oder irre ich mich da?
und der Betrag von z1 ist dann [mm] \wurzel{(1 + 0i)(1 - 0i)} [/mm] denn z mal konjugiertes z ist gleich dem Betrag von z zum quadrat und davon die Wurzel demzufolge der Betrag von z. Also ist das ergebnis von a) 1 und das Ergebnis von b) 0?
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Hallo Mammutbaum,
> stimmt [mm]i^{100}[/mm] ist 1 anstatt -i
>
> denn [mm]i^{100}[/mm] ist doch nix anderes als i² [mm]\*[/mm] i² [mm]\*[/mm] i² und
> das 50 mal oder? und da 50 eine grade zahl ist ergibt sich
> dann 1 oder?
>
> Und das ist doch ein Punkt ohne imaginärteil oder? also
> ist das Argument dieser Zahl doch null wenn man sie mal in
> der Zahlenebene betrachtet oder irre ich mich da?
Nein, da irrst Du nicht.
>
> und der Betrag von z1 ist dann [mm]\wurzel{(1 + 0i)(1 - 0i)}[/mm]
> denn z mal konjugiertes z ist gleich dem Betrag von z zum
> quadrat und davon die Wurzel demzufolge der Betrag von z.
> Also ist das ergebnis von a) 1 und das Ergebnis von b) 0?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mammutbaum!
Deine Berechnungen / Ansätze zu [mm] $z_2$ [/mm] kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen.
Schreibe die beiden Terme [mm] $(1\pm i)^n$ [/mm] jeweils in Exponentialform um und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wie kommst Du darauf? Was ergibt denn [mm] $i^4$ [/mm] ?
