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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 Mo 12.01.2015 | | Autor: | CAKL |
| Aufgabe | [mm] x\*dy/dx [/mm] + [mm] n\*y [/mm] = [mm] x^{m} [/mm] , m,n aus R
Lösen Sie die DGL mittels Variation der Konstanten |
Guten Abend,
ich arbeite gerade an obiger Aufgabe und komme an folgender Stelle nicht weiter, bzw. bin etwas verwirrt:
Ich habe die Lösung für die entsprechende homogene DGL ausgerechnet und folgendes herausbekommen
|y| = [mm] |x|^{-n}\*c
[/mm]
Ich bin mir jetzt aber nicht sicher, wie ich mit den beiden Beträgen umgehen muss.
Ich habe dann Fallunterscheidungen zuerst für y und dann nochmal Unterfälle für x und n gemacht mit dem Ergebnis
y>0: y = [mm] x^{-n} \*c [/mm] , für x > 0
y = [mm] x^{-n} \*c [/mm] , x<0 und n gerade
y= [mm] -x^{-n}\*c, [/mm] für x < 0 und n ungerade
y<0: y = [mm] -x^{-n} \*c [/mm] , für x >0
y = [mm] -x^{-n} \*c [/mm] , x<0, n gerade
y= [mm] x^{-n}\*c, [/mm] für x < 0 und n ungerade
die Lösungen passen einfach nicht zueinander...
Wie geht es jetzt weiter? Die Variation für y = [mm] -x^{-n }\*c [/mm] und y = [mm] x^{-n} \*c [/mm] getrennt machen? Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Di 13.01.2015 | | Autor: | CAKL |
Hallo,
hat wirklich keiner eine Idee? Ich wäre wirklich froh, wenn mir jemand sagt, wie ich damit richtig umgehe.
Ich zerbreche mir daran jetzt schon zwei Tage lang den Kopf ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 13.01.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
du schreibst nur die DGL und dein Ergebnis.
Wie sah dein Lösungsweg aus?
In der DGL steckt ein m, in deiner Lösung fehlt es. Ist das wirklich richtig so (versteckt sich das eventuelle im Faktor c)?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:09 Di 13.01.2015 | | Autor: | CAKL |
Hallo,
die Vorgensweise aus der Vorlesung besagt, dass ich die Lösung einer imhomogener DGL dadurch erhalte, indem ich die Lösung der homogenen DGL bestimme und dann die Konstante variiere. Die Lösung der homogenen DGL x*y' + n*y = 0 habe ich über die Methode der getrennten Veränderlichen bestimmt und bin zum genannten Ergebnis gekommen.
Nebenbei: Wolfram-Alpha kommt auf das gleiche Ergebnis, nur ohne die Beträge.
Die Beträge rühren daher, dass ich einen Term nach der Integration erhielt in dem die linke und rechte Seite als ln(|...|) dastand und nach dem anwenden von exp() die Beträge dastanden. Das c ist [mm] e^{c'}, [/mm] wobei c' die Integrationskonstante war.
Ich habe zurzeit keinen Laptop und muss mühselig auf dem Handy tippen. Ich möchte folglich nicht unbedingt die ganze Rechnung abtippen. Ich hoffe aber, dass meine Erklärung hilft.
EDIT:
Hier nun doch der Lösungsweg:
y'/y = -n/x
-> integrieren nach x: [mm] \integral_{}^{}{y'(x)/y(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{-n/x dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{1/y dy } [/mm] = -n* ln(|x|) + c'
ln(|y|) = ln(|x|) + c'
wenn ich jetzt exp() anwende, steht meine Lösung da. Ich hoffe, das hilft weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Mi 14.01.2015 | | Autor: | CAKL |
Hallo,
ich habe mit einem Tutor gesprochen. Laut ihm reicht es für die Variation der Konstanten aus, eine Lösung der homogenen DGL auszuwählen und dort c als Funktion von t anzusetzen.
Wen es interessiert: ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 15.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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