Bestimmung von diffbaren Fkt., < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Di 10.04.2007 | | Autor: | Nilfi |
| Aufgabe | Sei f= g +ih : [mm] \IC \to \IC [/mm] eine überall differenzierbare Funktion, und sei z = x+iy.
Es gelte g(z) = [mm] x^2 +y^2. [/mm] Bestimmen Sie alle Funktionen f. |
Hallo
wir hatten in der Vorlesung ein Theorem das besagt, dass
f = u+iv diffbar => [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] existieren und die Cauchy-Riemann Gleichungen sind erfüllt.
ABER:
Annahme laut Aufgabenstellung f überall diffbar => CR-Gleichungen erfüllt.
Aber das ist doch gar nicht möglich oder? es müsste ja [mm] \bruch{\partial h}{\partial x} [/mm] = -2y und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = 2x sein. Ich kann daraus kein h finden. Oder es ist zu einfach und ich bin verwirrt?
Weiss jemand weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Do 12.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
es gibt keine komplex differenzierbare Funktion mit dem vorgegebenen Realteil, denn wegen der CR-Gleichungen müßte der Realteil harmonisch sein,d.h.
[mm] 0=\Delta [/mm] g = [mm] (\frac{\partial^2}{\partial^2x}+\frac{\partial^2}{\partial^2y})g
[/mm]
erfüllen. Es kommt aber [mm] \Delta [/mm] g=4 heraus. Damit gibt es eben keine Funktion f. Das ist ja auch eine Lösung der Aufgabe. Falls man als Realteil [mm] g_1(z)=x^2-y^2 [/mm] nimmt wäre zum Beispiel [mm] f_1(z)=z^2 [/mm] eine Funktion mit Realteil [mm] g_1, [/mm] aber die Aufgabenstellung lautet ja anders.
Volker
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