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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 09.05.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | a) Ein fünfbändiges Lexikon wird in zufälliger Ordnung in ein Regal gestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bande von links nach rechts oder von rechts nach links in der richtigen Reihenfolge stehen?
b) Ein Würfel wird 24 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Augenzahl dabei genau 4 mal auftritt?
c) Ein Würfel wird 24 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 1 dabei genau 4 mal auftritt?
d) Die Ziff ern 1,2,3,4,5 werden auf fünf Karten geschrieben. Aus diesen 5 Karten werden nacheinander 3 herausgegriff en und die auf ihnen stehenden Ziff ern von links nach rechts aufgeschrieben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die so entstehende dreistellige Zahl gerade ist?
e) 8 Personen werden zufällig an einem runden Tisch platziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Paar nebeneinander sitzt?
f) Eine Studentin muss, um eine Prufung zu bestehen, 3 zufällig aus einem Katalog von 100 Fragen ausgewählte Fragen korrekt beantworten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie besteht, wenn sie 90 der Fragen beantworten kann?
g) Ein gewöhnlicher, fairer Würfel wird n-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallt genau bei dem n-ten Wurf zum k-ten Mal eine Vier ($1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$)? |
Hallo,
also bei a) habe wir $5!$ Möglichkeiten die Bücher anzuordnen. Davon sind nur 2 günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bände in der richtigen Reihenfolge stehen [mm] $\bruch{2}{5!}$ [/mm] = [mm] \bruch{1}{60}$.
[/mm]
Schon bei b) und c) habe ich Probleme die Mächtigkeit der Ereignisse zu bestimmen. Also den Grundraum könnte man ja wie folgt beschrieben [mm] $\Omega [/mm] := [mm] \left\{(w_1, \dots, w_{24}) | w_i \in \left\{1, \dots, 6\right\}, i = 1, \dots 24, \right\}$ [/mm] mit [mm] $|\Omega| [/mm] = [mm] 6^{24}$.
[/mm]
Sei A = "Die 1 wird genau 4-mal gewürfelt". Bei diesem Ereignis stehen ja die Ausgänge von exakt 4 Würfen fest. Bei den übrigen 20 Würfen besteht darf dann keine 4 mehr gewürfelt werden. Es gibt dann nur noch 5^20 mögliche Ausgänge. Allerdings lasse ich ja bei dieser Betrachtung die Reihenfolge in der die 4 gewürfelt wird außer Acht und gehe davon sogesehn davon aus, dass die 4 in den ersten 4 Würfen gewürfelt wird :-(
Bei der d) habe ich mir folgendes überlegt. Wir hab also 5 Karten, wovon 3 gezogen werden. Die Reihenfolge spielt dabei eine Rolle.
Eine 3-stellige Zahl ist dabei gerade genau dann, wenn die letzte Ziffer gerade ist. Die Menge ${1,2,3,4,5}$ enthält 2 gerade Zahlen. Die günstigen Ereignisse sind also (u,u,g), (u,g,g) sowie (g,u,g).
Die Wahrscheinlichkeit ist dann [mm] $\bruch{12}{60} [/mm] + [mm] \bruch{6}{60} [/mm] + [mm] \bruch{6}{60} [/mm] = [mm] \bruch{24}{60}$
[/mm]
zu e) Es gibt insgesamt $8! = 40320$ Möglichkeiten die 8 Personen auf die 8 Plätze zu verteilen. Betrachtet man ein beliebiges Paar, so gibt es 16 Möglichkeiten diese 2 Personen nebeneinander zu setzen. Die Wahrscheinlichkeit ist demnach [mm] $\bruch{16}{8!}$
[/mm]
zu f) Wir haben [mm] $\binom{100}{3}$ [/mm] Möglichkeiten 3 beliebige Fragen aus einer Grundgesamtheit von 100 Fragen zu ziehen. Günstig wäre es für die Studentin, wenn alle 3 Fragen aus der Menge der 90 Fragen ihr bekannten Fragen kommen würden. Wie setze ich das jetzt in Beziehung?
Bei Aufgabenteil g) finde ich keinen richtigen Ansatz.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruss
jboss
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Hallo,
> a) Ein fünfbändiges Lexikon wird in zufälliger
> Ordnung in ein Regal gestellt. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass die Bande von links nach rechts
> oder von rechts nach links in der richtigen Reihenfolge
> stehen?
> b) Ein Würfel wird 24 mal geworfen. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass jede Augenzahl dabei genau 4 mal
> auftritt?
> c) Ein Würfel wird 24 mal geworfen. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass die 1 dabei genau 4 mal auftritt?
> d) Die Ziff ern 1,2,3,4,5 werden auf fünf Karten
> geschrieben. Aus diesen 5 Karten werden nacheinander 3
> herausgegriff en und die auf ihnen stehenden Ziff ern von
> links nach rechts aufgeschrieben. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass die so entstehende dreistellige
> Zahl gerade ist?
> e) 8 Personen werden zufällig an einem runden Tisch
> platziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
> bestimmtes Paar nebeneinander sitzt?
> f) Eine Studentin muss, um eine Prufung zu bestehen, 3
> zufällig aus einem Katalog von 100 Fragen ausgewählte
> Fragen korrekt beantworten. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass sie besteht, wenn sie 90 der
> Fragen beantworten kann?
> g) Ein gewöhnlicher, fairer Würfel wird n-mal
> geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallt genau bei
> dem n-ten Wurf zum k-ten Mal eine Vier ([mm]1 \le k \le n[/mm])?
----------------
> also bei a) habe wir $5!$ Möglichkeiten die Bücher
> anzuordnen. Davon sind nur 2 günstig. Daher ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass die Bände in der richtigen
> Reihenfolge stehen [mm]$\bruch{2}{5!}$[/mm] = [mm]\bruch{1}{60}$.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
----------------
> Schon bei b) und c) habe ich Probleme die Mächtigkeit der
> Ereignisse zu bestimmen. Also den Grundraum könnte man ja
> wie folgt beschrieben [mm]\Omega := \left\{(w_1, \dots, w_{24}) | w_i \in \left\{1, \dots, 6\right\}, i = 1, \dots 24, \right\}[/mm]
> mit [mm]|\Omega| = 6^{24}[/mm].
> Sei A = "Die 1 wird genau 4-mal
> gewürfelt". Bei diesem Ereignis stehen ja die Ausgänge
> von exakt 4 Würfen fest. Bei den übrigen 20 Würfen
> besteht darf dann keine 4 mehr gewürfelt werden. Es gibt
> dann nur noch 5^20 mögliche Ausgänge. Allerdings lasse
> ich ja bei dieser Betrachtung die Reihenfolge in der die 4
> gewürfelt wird außer Acht und gehe davon sogesehn davon
> aus, dass die 4 in den ersten 4 Würfen gewürfelt wird
> :-(
b)
Hier handelt es sich um eine ![[]](/images/popup.gif) Multinomialverteilung. Wir können, ausgehend von deiner Rechnung, diese Verteilung auch selbst herleiten:
Angenommen, wir suchen nur ein ganz bestimmtes Ereignis dieser vielen möglichen, in denen jede Zahl 4-mal gewürfelt wird, zum Beispiel: 1 viermal, 2 viermal, 3 viermal, ... (genau in dieser Reihenfolge). Für dieses beträgt die Wahrscheinlichkeit natürlich
[mm] $\frac{1}{6^{24}}$.
[/mm]
Wir müssen uns jetzt nur noch überlegen, wie viele verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge es gibt, viermal die 1, viermal die 2, usw. zu würfeln (Diese Anzahl der Möglichkeiten wird dann mit obiger Wahrscheinlichkeit multipliziert).
Dazu nutzen wir folgende Überlegung: Wir lassen die Einsen ihre Plätze (von 1 bis 24) ziehen, also zu welchem Würfelwurf sie gewürfelt werden. Dafür gibt es [mm] \vektor{24\\4} [/mm] Möglichkeiten.
Danach lassen wir die Zweien ihre Plätze ziehen --> [mm] \vektor{20\\4} [/mm] Möglichkeiten, usw.
All diese Möglichkeiten müssen dann multipliziert werden.
Wir erhalten als Anzahl der Möglichkeiten:
[mm] $\vektor{24\\4}*\vektor{20\\4}*\vektor{16\\4}*\vektor{12\\4}*\vektor{8\\4}*\vektor{24\\4} [/mm] = [mm] \frac{24!}{4!*4!*4!*4!*4!*4!}$
[/mm]
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c)
Es ist eine Binomialverteilung mit n = 24, p = 1/6 und du suchst P(X = 4). In der Aufgabenstellung wird nur zwischen "Eins" und "Nicht-Eins" unterschieden, deswegen können wir das machen.
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> Bei der d) habe ich mir folgendes überlegt. Wir hab also 5
> Karten, wovon 3 gezogen werden. Die Reihenfolge spielt
> dabei eine Rolle.
> Eine 3-stellige Zahl ist dabei gerade genau dann, wenn die
> letzte Ziffer gerade ist. Die Menge [mm]{1,2,3,4,5}[/mm] enthält 2
> gerade Zahlen. Die günstigen Ereignisse sind also (u,u,g),
> (u,g,g) sowie (g,u,g).
> Die Wahrscheinlichkeit ist dann [mm]\bruch{12}{60} + \bruch{6}{60} + \bruch{6}{60} = \bruch{24}{60}[/mm]
Deine Überlegungen und auch das Endergebnis klingen für mich plausibel.
Das Endergebnis ist 2/5. Das bestätigt, dass das Experiment im Grunde "isomorph" ist dazu, einfach eine Karte aus den 5 Karten herauszuziehen und nachzusehen, ob sie gerade oder ungerade ist. Letztendlich entscheiden wir ja immer nur nach der letzten Karte, die beiden vorherigen sind egal.
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> zu e) Es gibt insgesamt [mm]8! = 40320[/mm] Möglichkeiten die 8
> Personen auf die 8 Plätze zu verteilen. Betrachtet man ein
> beliebiges Paar, so gibt es 16 Möglichkeiten diese 2
> Personen nebeneinander zu setzen. Die Wahrscheinlichkeit
> ist demnach [mm]\bruch{16}{8!}[/mm]
Ich gebe zu, diese Tischaufgaben sind meine Schwäche - besonders wenn es um runde Tische geht.
Ich würde aber genau dasselbe rechnen wie du.
--> Deswegen lasse ich hier die Frage auf halb-beantwortet.
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> zu f) Wir haben [mm]\binom{100}{3}[/mm] Möglichkeiten 3 beliebige
> Fragen aus einer Grundgesamtheit von 100 Fragen zu ziehen.
> Günstig wäre es für die Studentin, wenn alle 3 Fragen
> aus der Menge der 90 Fragen ihr bekannten Fragen kommen
> würden. Wie setze ich das jetzt in Beziehung?
Nutze die Hypergeometrische Verteilung.
Du weißt schon, wie viele Möglichkeiten es gibt, 3 beliebige Fragen herauszuziehen.
Nun teilst du die Menge der 100 Fragen in zwei Teile ein:
- Teil 1: Die 90 Fragen, von denen die Studentin alle richtig beantworten kann. --> Davon wollen wir 3
- Teil 2: Die 10 Fragen, die die Studentin nicht beantworten kann. --> Davon wollen wir 0.
Also: Es gibt [mm] \vektor{90\\3}*\vektor{10\\0} [/mm] Möglichkeiten, aus 90 bestimmten Fragen 3 herauszuziehen und aus 10 bestimmten Frage 0.
--> Insgesamt:
$P = [mm] \frac{\vektor{90\\3}*\vektor{10\\0}}{\vektor{100\\3}}$
[/mm]
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> Bei Aufgabenteil g) finde ich keinen richtigen Ansatz.
Wir betrachten den Zustand nach dem (n-1)-ten Würfelwurf.
Es müssen bis zu diesem Wurf (k-1)-mal eine Vier gewürfelt worden sein, und zwar in irgendeiner Reihenfolge.
--> Binomialverteilung mit n' = n-1, p' = 1/6, k' = k-1.
Danach musst du an diese Binomialverteilung noch mal 1/6 ranmultiplizieren, wegen der letzten 4, die gewürfelt werden soll.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 So 09.05.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo Stefan,
danke für deine umfangreiche Antwort. Hast mir sehr weiter geholfen!
Gruss
jboss
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