Bestimmung von P(X < Y) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Do 17.02.2011 | | Autor: | Sharados |
| Aufgabe | Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig, X sei exponentialverteilt mit Parameter 1 und Y sei
gleichverteilt auf dem Intervall (0,1); die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten sind
[mm] f(x)=\begin{cases} exp(-x), falls & x > 0 \\ 0, \ sonst \end{cases}
[/mm]
0, sonst
[mm] f(y)=\begin{cases} 1, falls & 0 < y < 1 \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X < Y) dafür, dass X einen kleineren Wert als Y annimmt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe das jetzt mehrfach versucht, ich glaube es würde mir schon helfen, wenn mir jmd. die korrekten Integralgrenzen geben könnte.
also
[mm] \integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{f(x,y) d(x,y)}
[/mm]
die Werte a,b,c,d und die reinfolge der Integration.
Mit den besten Wünschen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Do 17.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig, X sei
> exponentialverteilt mit Parameter 1 und Y sei
> gleichverteilt auf dem Intervall (0,1); die zugehörigen
> Wahrscheinlichkeitsdichten sind
> [mm]f(x)=\begin{cases} exp(-x), falls & x > 0 \\ 0, \ sonst \end{cases}[/mm]
>
> 0, sonst
> [mm]f(y)=\begin{cases} 1, falls & 0 < y < 1 \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X < Y) dafür, dass
> X einen kleineren Wert als Y annimmt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also ich habe das jetzt mehrfach versucht, ich glaube es
> würde mir schon helfen, wenn mir jmd. die korrekten
> Integralgrenzen geben könnte.
>
> also
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
>
> die Werte a,b,c,d und die reinfolge der Integration.
>
Wenn a,b,c,d einfach Zahlen sein sollen, ist das nicht zu machen, da X<Y kein Rechteck definiert:
[mm] P(\{X
[mm] =\integral\integral 1_{(x,\infty)}(y)e^{-x}1_{(0,\infty)}(x)1_{(0,1)}(y)dxdy=\integral\integral 1_{(x,\infty)\cap(0,1)}(y)e^{-x}1_{(0,\infty)}(x)dxdy=\integral_{(0,\infty)}\left(\integral 1_{(x,\infty)\cap(0,1)}(y)dy\right)e^{-x}dx=\integral_{(0,\infty)}\lambda((x,\infty)\cap(0,1))e^{-x}dx
[/mm]
[mm] =\integral_{(0,\infty)}(1-x)1_{(0,1)}(x)e^{-x}dx=\integral_{(0,1)}(1-x)e^{-x}dx
[/mm]
LG
gfm
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