Bestimmung von Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Syreah |
Hallo zusammen,
da ich aus Krankheitsgründen zwei Wochen nicht am Matheunterricht teilnehmen konnte, tu ich mich etwas schwer mit den Hausaufgaben, da ich die neuen Sachen versucht habe, alleine aufzuarbeiten.
Es geht um folgende Aufgabe:
1) Bedingungen für eine Funktion formulieren
Eine ganzrationale Funktion f ist so zu bestimmen, dass ihr Graph einen Übergangsbogen zwischen zwei Halbgeraden bildet. Der Grad von f soll möglichst klein sein.
a) Der Graph von f soll an den Anschlussstellen keinen "Knick" aufweisen. Präzisiere diese Forderung mathematisch und bestimme dann f(x).
b) f soll an den Anschlussstellen in der ersten und in der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimme f(x).
c) Stelle dir vor, die Halbgeraden beschreiben Straßen. Warum ist die Lösung von b) sinnvoller als Übergangebogen als die Lösung von a)?
Zeichnung, die angegeben ist:
http://img338.imageshack.us/img338/5558/unbenanntho5.png
Ich weiß jetzt gar nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Wie genau muss ich nun anfangen, um die Aufgabe zu lösen? :/ Ich bräuchte einen Denkanstoß *g*
Danke im Voraus! 
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Hallo!
Ich helfe dir mal ein wenig bei dem ersten Aufgabenteil. Keinen Knick bedeutet wohl, dass die erste Ableitung an den entsprechenden Stellen übereinstimmen. Warum? Zeichne dir eine Funktion, die sich aus zwei Teilen zusammensetzt und einen Knick hat. Dann betrachte mal die links- und rechtsseitige Ableitung, also die Ableitung der beiden Einzelfunktionen an der Knickstelle.
Zurück zur Aufgabe. Du kannst also folgende Bedingungen für die gesuchte Funktion f aufstellen:
f(1) = ?, f(3) = ?, f'(1) = ?, f'(3) = ?
Die Werte kannst du jetzt hoffentlich selber ergänzen? Nun musst du dir noch überlegen, bei welchem Grad das Gleichungssystem potentiell eindeutig lösbar ist.
Versuch's einmal
Gruß!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Syreah |
Okay, das mit den Bedingungen kann ich voll und ganz nachvollziehen. Das hatte ich mir auch versucht, selbst beizubringen mit Aufgaben, wo das einem noch vorgegeben ist. Aber mit was rechne ich nun die Werte aus? Ich weiß, wahrscheinlich ist es total simpel und ich habe ein Brett vorm Kopf :-/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Blech |
f(1)=2, f'(1)=1, f(3)=4, f'(3)=0
D.h. wir haben 4 Gleichungen, also brauchen wir 4 Unbekannte:
[mm]f(x)= ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
[mm]\Rightarrow f'(x)= 3ax^2 + 2bx +c[/mm]
Jetzt setzen wir die Bedingungen ein:
[mm]f(1)=a+b+c+d=2[/mm]
[mm]f(3)=27a+9b+3c+d=4[/mm]
[mm]f'(1)=3a+2b+c=1[/mm]
[mm]f'(3)=27a+6b+c=0[/mm]
Und erhalten damit das Gleichungssystem:
[mm]\begin{array}{rrrrrrrrr}
1a&+&1b&+&1c&+&1d&=&2\\
27a&+&9b&+&3c&+&1d&=&4\\
3a&+&2b&+&1c&+&0d&=&1\\
27a&+&6b&+&1c&+&0d&=&0\\
\end{array}[/mm]
Das mußt Du jetzt nur noch lösen =)
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