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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Eigenvektor der Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -8 \\ 0 & -1 & -3 } [/mm] |
Hallo,
ich springe direkt zu meinem Problem, nämlich das "Ablesen" des Eigenvektors. Dazu habe ich den EW [mm] \lambda_{2} [/mm] verwendet:
=> [mm] \pmat{ 6 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & -8 \\ 0 & -1 & 2}* \vec{x}=\vec{0}
[/mm]
nach anwenden des Gauß-Algorithmus komme ich auf: (braucht nicht nachrechnen ist richtig)
1 0 1| 0
0 1 -2| 0 --> also auf die gewünscht Stufenform.
Mein Problem wie lese ich hier [mm] \vec{x} [/mm] ab?
meine Lösung sagt mir [mm] \vec{x}= t*\pmat{ -1 \\ 2 \\ 1 }, [/mm] aber wie kommt man darauf?
der Eigenvektor spannt ja den Eigenraum auf, in diesem Fall ist er
Eig(-5,A). Ist das bei Eigenräumen immer so, dass man um sie zu beschreiben [mm] Eig(\lambda,A) [/mm] schreibt? (ein ja als Antwort genügt:) )
In Bezug dazu noch: wie lese ich die geometrische und die algebraische Vielfachheit ab?
hab mir eben angelesen, dass die algebraische Vielfachheit von den EW abhängt. Bspw. wenn es ein "doppeltes" [mm] \lambda [/mm] gibt, dass dann die algebraische Vielfachheit =2 ist. Aus meinen supertollen Aufschrieben kann ich aber leider nicht rausfinden, was es mit der geom. Vielfachheit auf sich hat... Was ich auch noch weiß ist [mm] 1\le [/mm] geom. Vielfachheit [mm] \le [/mm] alg. Vielfachheit :)
Ich denke ihr könnt mir da besser weiterhelfen... Vielen Dank!
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Hallo easymaths88,
> Bestimmen Sie den Eigenvektor der Matrix:
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -8 \\ 0 & -1 & -3 }[/mm]
> Hallo,
>
> ich springe direkt zu meinem Problem, nämlich das
> "Ablesen" des Eigenvektors. Dazu habe ich den EW
> [mm]\lambda_{2}[/mm] verwendet:
>
> => [mm]\pmat{ 6 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & -8 \\ 0 & -1 & 2}* \vec{x}=\vec{0}[/mm]
>
> nach anwenden des Gauß-Algorithmus komme ich auf: (braucht
> nicht nachrechnen ist richtig)
>
> 1 0 1| 0
> 0 1 -2| 0 --> also auf die gewünscht Stufenform.
>
> Mein Problem wie lese ich hier [mm]\vec{x}[/mm] ab?
>
Erweitere hier die Stufenform um 0 0 -1 :
[mm]\pmat{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ \blue{0} & \blue{0} & \blue{-1}}[/mm]
Der Eigenvektor ist dann das negative der 3.Spalte.
> meine Lösung sagt mir [mm]\vec{x}= t*\pmat{ -1 \\ 2 \\ 1 },[/mm]
> aber wie kommt man darauf?
>
> der Eigenvektor spannt ja den Eigenraum auf, in diesem Fall
> ist er
> Eig(-5,A). Ist das bei Eigenräumen immer so, dass man um
> sie zu beschreiben [mm]Eig(\lambda,A)[/mm] schreibt? (ein ja als
> Antwort genügt:) )
>
> In Bezug dazu noch: wie lese ich die geometrische und die
> algebraische Vielfachheit ab?
>
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes kannst Du aus
dem zugehörigen charakteristische Polynom ablesen.
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die
Anzahl der Nullzeilen der zugehörigen Matrix in Stufenform.
> hab mir eben angelesen, dass die algebraische Vielfachheit
> von den EW abhängt. Bspw. wenn es ein "doppeltes" [mm]\lambda[/mm]
> gibt, dass dann die algebraische Vielfachheit =2 ist. Aus
> meinen supertollen Aufschrieben kann ich aber leider nicht
> rausfinden, was es mit der geom. Vielfachheit auf sich
> hat... Was ich auch noch weiß ist [mm]1\le[/mm] geom. Vielfachheit
> [mm]\le[/mm] alg. Vielfachheit :)
>
> Ich denke ihr könnt mir da besser weiterhelfen... Vielen
> Dank!
Gruss
MathePower
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> Erweitere hier die Stufenform um 0 0 -1 :
>
> [mm]\pmat{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ \blue{0} & \blue{0} & \blue{-1}}[/mm]
>
> Der Eigenvektor ist dann das negative der 3.Spalte.
Ok...Warum? bzw. erweitert man immer mit -1 und nimmt man immer die 3.Spalte?
der Eigenvektor spannt ja den Eigenraum auf, in diesem Fall
ist er Eig(-5,A). Ist das bei Eigenräumen immer so, dass man um sie zu beschreiben [mm]Eig(\lambda,A)[/mm] schreibt? (ein ja als Antwort genügt:) )
hier müsste ich nochmal nachhaken, wie gesagt ein ja genügt.
LG
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Hallo easymaths88,
> >
> > Erweitere hier die Stufenform um 0 0 -1 :
> >
> > [mm]\pmat{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ \blue{0} & \blue{0} & \blue{-1}}[/mm]
>
> >
> > Der Eigenvektor ist dann das negative der 3.Spalte.
>
> Ok...Warum? bzw. erweitert man immer mit -1 und nimmt man
Nun, das ist eine gebräuchliche Methode um
die Lösung eins linearen Gleichungssystems
anhand der Matrix in Stufenform abzulesen.
> immer die 3.Spalte?
>
Nein, nicht immer.
>
> der Eigenvektor spannt ja den Eigenraum auf, in diesem Fall
> ist er Eig(-5,A). Ist das bei Eigenräumen immer so, dass
> man um sie zu beschreiben [mm]Eig(\lambda,A)[/mm] schreibt? (ein ja
> als Antwort genügt:) )
>
Ja.
> hier müsste ich nochmal nachhaken, wie gesagt ein ja
> genügt.
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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