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| Aufgabe | Bestimme das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{f(\bruch{1}{x^2-4x+4}) dx} [/mm] |
Meine Idee soweit:
Weil ich den Bruch auch als (x)^-1 schreiben kann müsste
[mm] Ln|x^2-4x+4| [/mm] beinhalten.
Dazu schon meine erste Frage, wie genau begründet sich das Ln.
Nun bin ich in diesem Falle mit der Kettenregel konfrontiert und muss das ganze noch mit dem Kehrwert der inneren Ableitung multipizieren.
Dann lautet meine Stammfunktion
[mm] Ln|x^2-4x+4| [/mm] * [mm] \bruch{1}{2x-4}
[/mm]
So richtig verstehe ich jedoch nicht, was ich da gerade fabriziert habe.
Bin für jede Hilfe dankbar
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Windbeutel!
> Bestimme das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(\bruch{1}{x^2-4x+4}) dx}[/mm]
Du meinst bestimmt folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{x^2-4x+4}) dx}
[/mm]
> Meine Idee
> soweit:
>
> Weil ich den Bruch auch als (x)^-1 schreiben kann müsste
> [mm]Ln|x^2-4x+4|[/mm] beinhalten.
Die Idee ist gut, aber bringt dich hier nicht (direkt) zum Ziel.
>
> Dazu schon meine erste Frage, wie genau begründet sich das
> Ln.
Was meinst du?
Fragst du dich weshalb folgendes gilt:
[mm] \ln'(x)=\frac{1}{x}
[/mm]
Es gilt:
[mm] e^{\ln(x)}=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow (e^{\ln(x)})'=x'
[/mm]
[mm] \Rightarrow \ln'(x)*e^{\ln(x)}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \ln'(x)=\frac{1}{e^{\ln(x)}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \ln'(x)=\frac{1}{x}
[/mm]
> Nun bin ich in diesem Falle mit der Kettenregel
> konfrontiert und muss das ganze noch mit dem Kehrwert der
> inneren Ableitung multipizieren.
Siehe oben. Du musst davor noch etwas machen.
>
> Dann lautet meine Stammfunktion
>
> [mm]Ln|x^2-4x+4|[/mm] * [mm]\bruch{1}{2x-4}[/mm]
>
Wenn du das ableitest, dann wirst du merken, dass das nicht stimmen kann.
>
> So richtig verstehe ich jedoch nicht, was ich da gerade
> fabriziert habe.
Es gilt:
[mm] x^2-4x+4=(x-2)^2
[/mm]
Jetzt bist du dran!
> Bin für jede Hilfe dankbar
>
> Grüße
Gruß
DieAcht
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| Aufgabe | Bestimme das Integral
$ [mm] \integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{x^2-4x+4}) dx} [/mm] $ |
Danke dir für deinen Hinweis.
Es geht also darum dem komplizierteren Rechenschritt mit Ln aus dem Weg zu gehen, indem ich zuerst umforme?
Nach der zweiten Binomischen Formel lässt sich der Nenner als [mm] (x-2)^2 [/mm] schreiben und ich kann in einem weiteren Umformungsschritt schreiben:
[mm] \integral_{0}^{1}{(x-2)^-2 dx} [/mm]
Jetz der Schritt der mich wieder ins straucheln bringt. Ich verstehe nicht so richtig wie man die Kettenregel bei den Integralen verwendet. Bisher hatte ich das nur bei den Ableitungen.
Den einzig hilfreichen Kommentar, den ich dazu im Netzt gefunden habe war: Äußere Ableitung mal Kehrwert der inneren Ableitung, ich hoffe mal das ist so richtig.
Dann komme ich im nächsten Schritt auf:
[mm] \integral_{0}^{1}{f( -(x-2)^-1 * \bruch{1}{x-2} ) dx}
[/mm]
Komme ich der Sache jetzt näher?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Fr 24.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Bestimme das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{x^2-4x+4}) dx}[/mm]
> Danke dir für
> deinen Hinweis.
>
> Es geht also darum dem komplizierteren Rechenschritt mit Ln
> aus dem Weg zu gehen, indem ich zuerst umforme?
>
> Nach der zweiten Binomischen Formel lässt sich der Nenner
> als [mm](x-2)^2[/mm] schreiben und ich kann in einem weiteren
> Umformungsschritt schreiben:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(x-2)^-2 dx}[/mm]
>
Hallo,
substituiere lieber z=x-2.
Gruß Abakus
> Jetz der Schritt der mich wieder ins straucheln bringt. Ich
> verstehe nicht so richtig wie man die Kettenregel bei den
> Integralen verwendet. Bisher hatte ich das nur bei den
> Ableitungen.
> Den einzig hilfreichen Kommentar, den ich dazu im Netzt
> gefunden habe war: Äußere Ableitung mal Kehrwert der
> inneren Ableitung, ich hoffe mal das ist so richtig.
>
> Dann komme ich im nächsten Schritt auf:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f( -(x-2)^-1 * \bruch{1}{x-2} ) dx}[/mm]
>
> Komme ich der Sache jetzt näher?
>
>
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Danke für den Tip, aber lag ich generell richtig?
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Hiho,
> Danke für den Tip, aber lag ich generell richtig?
Nein.
> Jetz der Schritt der mich wieder ins straucheln bringt. Ich
> verstehe nicht so richtig wie man die Kettenregel bei den
> Integralen verwendet. Bisher hatte ich das nur bei den
> Ableitungen.
Das Analogon der Kettenregel bei der Integration ist die Substitution. Darum hat abakus dir das Empfohlen.
Gruß,
Gono.
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Hm, nun verstehe ich gar nichts mehr. Ich hbe es gerde nochml mit der Substitution gerechnet, aber da komme ich beim selben Ergebniss raus.
(B.t.w: was ist den das "Analogon der Kettenregel" ? Den Ausdruck habeich bisher noch nie gehört)
Also auf ein neues
[mm] \integral_{0}^{1}{( \bruch{1}{(x-2)^2}) dx}
[/mm]
Nchster Schritt (x-2)=Z
[mm] \integral_{0}^{1}{( \bruch{1}{(Z)^2}) dx}
[/mm]
Umformen
[mm] \integral_{0}^{1}{(Z^{-2}}) [/mm] dx
Stammfunktion bilden
(Äußere ableitung ml Kehrwert der inneren)
[mm] \integral_{0}^{1}{( \bruch{1}{-2+1} Z^{-2+1}*\bruch{1}{Z}) dx}
[/mm]
Wenn ich jetzt doch aber Rücksubstituiere komme ich wieder beim dem ergebnis heraus, das ich bereits hatte?
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Hallo,
> Hm, nun verstehe ich gar nichts mehr. Ich hbe es gerde
> nochml mit der Substitution gerechnet, aber da komme ich
> beim selben Ergebniss raus.
> (B.t.w: was ist den das "Analogon der Kettenregel" ? Den
> Ausdruck habeich bisher noch nie gehört)
Ein Analogon ist eine Entsprechung, das kommt aus dem Altgriechischen. Also Gono meinte damit salopp: es gibt keine Kettenregel für das Integrieren, am ehesten entspricht dem die Substitution.
>
> Also auf ein neues
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{( \bruch{1}{(x-2)^2}) dx}[/mm]
>
>
> Nchster Schritt (x-2)=Z
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{( \bruch{1}{(Z)^2}) dx}[/mm]
>
> Umformen
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(Z^{-2}})[/mm] dx
>
Da fehlt etwas entscheidendes: du musst das Differential dx ebenfalls substituieren.
> Stammfunktion bilden
> (Äußere ableitung ml Kehrwert der inneren)
Das gibt es nicht.
Die korrekte Rechnung sieht in etwa so aus:
[mm] \int_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2-4x+4} dx}
[/mm]
ist zu berechnen.
Schritt 1
Berechnen einer Stammfunktion mittels unbestimmter Integration:
[mm] \int{\bruch{1}{x^2-4x+4} dx}=\int{\bruch{1}{(x-2)^2} dx}=?
[/mm]
Schritt 2
Subtitution des Integranden:
z=x-2
Schritt 3
Substitution des Differentials:
z=x-2 [mm] \Rightarrow z'=\bruch{dz}{dx}=1 \Rightarrow [/mm] dx=dz
Schritt 4
Berechnen des subtituierten Integrals:
[mm] \int{\bruch{1}{z^2} dz}=\int{z^{-2} dz}=\bruch{1}{-1}*z^{-1}+C=-\bruch{1}{z}+C
[/mm]
Fehlen noch Schritt 5: Rücksubstitution sowie Schritt 6: Berechnen des bestimmten Integrals, das bekommst du selbst hin?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Fr 24.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Bestimme das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{x^2-4x+4}) dx}[/mm]
> Danke dir für
> deinen Hinweis.
>
> Es geht also darum dem komplizierteren Rechenschritt mit Ln
> aus dem Weg zu gehen, indem ich zuerst umforme?
>
> Nach der zweiten Binomischen Formel lässt sich der Nenner
> als [mm](x-2)^2[/mm] schreiben und ich kann in einem weiteren
> Umformungsschritt schreiben:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(x-2)^-2 dx}[/mm]
Du meinst folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{(x-2)^{-2} dx}
[/mm]
Nutze geschweifte Klammern für Exponenten, etwa so:
x^{-a}
> Jetz der Schritt der mich wieder ins straucheln bringt. Ich
> verstehe nicht so richtig wie man die Kettenregel bei den
> Integralen verwendet. Bisher hatte ich das nur bei den
> Ableitungen.
> Den einzig hilfreichen Kommentar, den ich dazu im Netzt
> gefunden habe war: Äußere Ableitung mal Kehrwert der
> inneren Ableitung, ich hoffe mal das ist so richtig.
>
> Dann komme ich im nächsten Schritt auf:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f( -(x-2)^-1 * \bruch{1}{x-2} ) dx}[/mm]
Das ist falsch.
Deine Idee ist gut, deshalb erkläre ich sie dir!
Gucken wir uns zunächst das unbestimmte Integral an:
[mm] \integral{(x-2)^{-2} dx}
[/mm]
Du hast dir schon folgendes richtig überlegt:
[mm] (x-2)^{-1}
[/mm]
Angenommen, das wäre richtig, testen wir mal:
[mm] ((x-2)^{-1})'=(-1)*(x-2)^{-2}*(x-2)'=-(x-2)^{-2}
[/mm]
Als Bruch also folgendes:
[mm] -\frac{1}{(x-2)^2}
[/mm]
Hier wird klar, dass wir nur noch das Vorzeichen geschickt ändern müssen.
Probieren wir doch mal folgendes aus:
[mm] -(x-2)^{-1}
[/mm]
Wir testen:
[mm] (-(x-2)^{-1}))'=-(-1)(x-2)^{-2}(x-2)'=(x-2)^{-2}
[/mm]
Als Bruch also folgendes:
[mm] \frac{1}{(x-2)^2}
[/mm]
Geschafft!
Es gilt also folgendes:
[mm] \integral{\frac{1}{x^2-4x+4} dx}=\integral{\frac{1}{(x-2)^2} dx}=-(x-2)^{-1}+C=-\frac{1}{x-2}+C=\frac{1}{2-x}+C
[/mm]
Jetzt kannst du folgendes ausrechnen:
[mm] \integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{x^2-4x+4}) dx}
[/mm]
Was ich dir damit sagen will:
Teste es einfach aus. Hier klappt es auch ohne Substitution.
Dennoch solltest du dir auf jeden Fall die Substitution aneignen,
denn sie ist eines der wichtigsten Mittel beim Integrieren!
Nun will ich dir erklären wieso das klappt.
Du könntest dir folgendes überlegen:
Sei $f$ eine stetige Polynomfunktion ersten Grades.
$f(x)=ax+b$ mit [mm] a,b\in\IR_{\not=0}.
[/mm]
Setze [mm] g(x):=\frac{1}{(f(x))^n} [/mm] mit [mm] n\in\IN, [/mm] dann gilt:
[mm] G(x)=\integral{g(x) dx}=\integral{\frac{1}{(f(x))^n} dx}=\integral{(f(x))^{-n} dx}=\integral{(ax+b)^{-n} dx}=\frac{(ax+b)^{-n+1}}{a(-n+1)}+C=\frac{(ax+b)^{1-n}}{a(1-n)}+C
[/mm]
Das kann man auch überprüfen:
[mm] G'(x)=(\frac{(ax+b)^{1-n}}{a(1-n)})'=\frac{(1-n)(ax+b)^{-n}(ax+b)'}{a(1-n)}=\frac{(1-n)(ax+b)^{1-n-1}a}{a(1-n)}=(ax+b)^{-n}=\frac{1}{(ax+b)^n}=\frac{1}{f(x)^n}=g(x)
[/mm]
Das klappt natürlich nur dann so schön,
wenn wir als innere Funktion ein Polynom ersten Grades bekommen,
denn nur dann leiten wir bei der inneren Ableitung
nur noch ein Polynom ersten Grades ab.
Das Ergebnis ist dann nur eine Konstante, in diesem Fall $a$.
Nur dann entsteht kein weiteres $x$, denn genau das ist das Problem.
Vorzeichen oder irgendwelche Werte kann man verarzten,
aber weitere "$x$" verkraften wir nicht so leicht.
Du hast also dein Polynom zweiten Grades durch die binomische Formel geschickt umgeformt,
sodass du als innere Funktion ein Polynom ersten Grades hattest.
Die Ableitung der inneren Funktion ist dann nur noch die Konstante,
die wir ohne weitere Probleme durch geschicktes Umformen verarzten können.
Ich hoffe, dass es dir nun klarer ist 
Gute Nacht!
Gruß
DieAcht
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