Bestimmung eines Grenzwertes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge:
[mm] \bruch{\bruch{1}{ \wurzel{n}}}{\bruch{1}{\wurzel(n) + (-1)^{n+1}}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo. Ich freue mich, dass ich endlich Mitglied bei euch im Forum geworden bin und hoffe, dass ich dem einen oder anderen auch helfen kann. Doch zuerst müsst ihr mir helfen, bei der oben gegebenen Aufgabe.
Man soll den Grenzwert für [mm] n->\infty [/mm] angeben.
Also ich habe schon mal angefangen, dass ganze zu vereinfachen:
[mm] \bruch{\bruch{1}{ \wurzel{n}}}{\bruch{1}{\wurzel(n) + (-1)^{n+1}}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n} + (-1)^{n+1}}{1} [/mm] =
[mm] \bruch{\wurzel{n} + (-1)^{n+1}}{\wurzel{n}} [/mm] =
?
?
?
= 1
Also mit dem Ergebnis bin ich mir sicher. Mir fehlen nur die Zwischenschritte, damit ich auch beweisen kann. Dass der Grenzwert auch wirklich 1 ist. Könnt ihr mir helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Kürze mal mit [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] und überlege, warum [mm] $\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$ [/mm] gegen $0$ konvergiert...
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
danke für deine schnelle Antwort. So ganz habe ich das noch nicht verstanden. Also wie soll ich denn mit [mm] \wurzel{n} [/mm] kürzen?
Also das der zweite Term 0 als Grenzwert hat, ist in soweit klar, weil der Zähler entweder 1 oder -1 ist und die [mm] \wurzel{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt. Aber warum ist dann der ganze Term 0???
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[mm] \bruch{\wurzel{n} + (-1)^{n+1}}{\wurzel{n}} [/mm] ist momentan ein Quotient. Wenn Du Ihn als Summe zweier gleichnamiger Brüche darstellst, kannst Du den ersten Bruch kürzen und erhältst 1. Der zweite Summand ist Dir bekannt, setztest Du [mm] \wurzel{n}=z, [/mm] dann hieße der Term [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{z}, [/mm] und dessen Grenzwert für [mm] \{z}\rightarrow\infty [/mm] ist 0.
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Ach so, ja doch jetzt ist es klar. Aber das erste habe ich immer noch nicht verstanden. Wäre es denn keinem mögich mir die Gleichungskette aufzuschreiben? Die scheint doch nicht so lang zu sein. Bitte!
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[mm] \bruch{\wurzel{n} + (-1)^{n+1}}{\wurzel {n}}=\bruch{\wurzel {n} }{\wurzel{n} }+\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel {n}}=1+\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel {n}}
[/mm]
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