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Bestimmung einer Lebesgue-Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Fr 12.03.2004
Autor: blotto

Hallo,
ich habe ein großes Problem mit einer Aufgabe, bei der ich nur auf ein schier unmögliches Ergebnis komme. Aber ich finde irgendwie meinen Fehler nicht... Also:

X,Y sind Zufallsvariablen, wobei X~N(0,1) (normalverteilt) und Y=exp(X).
Frage: Wie sieht die  lambda ^1-Dichte von Y aus (Hier fehlen mir die nötigen TeX-Kenntnisse, gemeint ist also die Lebesgue-Dichte)

Meine Überlegung ist, dass [mm] P^Y [/mm] (t) = [mm] P^X [/mm] (log t) ist. Aber so komme ich mit der Dichte der Normalverteilung auf eine Dichte der Form
1/( (2*Pi)^(1/2) * t) und das kann ja nicht sein...

Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank schonmal im Vorraus (und ich verspreche auch, dass ich demnächst TeX lerne!! ;) ).
        
Bezug
Bestimmung einer Lebesgue-Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Fr 12.03.2004
Autor: Julius

Hallo,

deine Idee war völlig richtig. :-)

Es gilt für alle [mm]x \in \IR[/mm]:

[mm]P(Y \le x)[/mm]

[mm]= P(\exp(X)\le x)[/mm]

[mm]= P(X \le \log(x))[/mm]

[mm]= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\log(x)} e^{-\frac{t^2}{2}}\, dt[/mm]

[mm]= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{x} \frac{e^{-\frac{(\log(t))^2}{2}}}{t}\, dt[/mm]

[mm]= \int\limits_{-\infty}^{x} \frac{\varphi(\log(t))}{t} \, dt[/mm],

wobei

[mm]\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}}[/mm]

die Standardnormalverteilungsdichte ist.

Daher gilt:

[mm]P_Y(dx) = \frac{\varphi(\log(x))}{x}\, \lambda^1(dx).[/mm]

(Selbstverständlich ist bei mir [mm]\log[/mm] der natürliche Logarithmus.)

Es handelt sich um die Lebesgue-Dichte der sogenannten Standard-Log-Normal(1)-Verteilung.

Alles klar? :-) Ansonsten bitte nachfragen...

Liebe Grüße
julius

Bezug
                
Bezug
Bestimmung einer Lebesgue-Dichte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Fr 12.03.2004
Autor: blotto

Ein herzliches Dankeschön, Julius, Sie haben mir wirklich enorm weitergeholfen!
Und nochmals ein besonderes Lob verdient die Geschwindigkeit ;)
Schöne Grüße,
Christian
Bezug
                        
Bezug
Bestimmung einer Lebesgue-Dichte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Fr 12.03.2004
Autor: Julius

Hallo Christian,

so alt bin ich auch noch nicht, wir können uns ruhig duzen. Ich habe gerne geholfen. :-)

Viele Grüße
julius
Bezug
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