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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Bestimmung des charakteristisc

Bestimmung des charakteristisc < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Bestimmung des charakteristisc: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	05:21 Fr 15.08.2008
Autor:	jack0

Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe gerade folgende Aufgabe angeschaut und verstehe nicht so ganz,
warum man in diesem Fall, die Determinante so berechnen kann. Weil die Matrix ist ja eigentlich nicht in Dreiecksgestalt. Und in der Zweiten Zeile am Ende dieses "+1". Gibt es dazu eine Regel?
[Dateianhang nicht öffentlich]

Vielen Dank!

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]

Bezug

Bestimmung des charakteristisc: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	06:40 Fr 15.08.2008
Autor:	Fulla

Hallo jack0,

die Determinante wurde hier so

entwickelt:

Nach der 5. Zeile:
[mm] $\det\pmat{3-\lambda&-1&-2&2&-5\\ 1&1-\lambda&-1&1&-4\\ 0&0&1-\lambda&-2&2\\ 0&0&0&-1-\lambda&0\\ 0&0&0&0&{\color{blue}-1-\lambda}}=({\color{blue}-1-\lambda})*\det\pmat{3-\lambda&-1&-2&2\\ 1&1-\lambda&-1&1\\ 0&0&1-\lambda&-2\\ 0&0&0&{\color{green}-1-\lambda}}$ [/mm]

Nach der 4. Zeile:
[mm] $=({\color{blue}-1-\lambda})*({\color{green}-1-\lambda})*\det\pmat{3-\lambda&-1&-2\\ 1&1-\lambda&-1\\ 0&0&{\color{red}1-\lambda}}$ [/mm]

Nach der 3. Zeile:
[mm] $=({\color{blue}-1-\lambda})*({\color{green}-1-\lambda})*({\color{red}1-\lambda})*\det\pmat{3-\lambda&-1\\ 1&1-\lambda}$ [/mm]

Jetzt wurde die Determinante der 2x2 Matrix ausgerechnet:
[mm] $=({\color{blue}-1-\lambda})*({\color{green}-1-\lambda})*({\color{red}1-\lambda})*\left[(3-\lambda)(1-\lambda)-(1*(-1))\right]$ [/mm]

[mm] $=(-1-\lambda)(-1-\lambda)(1-\lambda)\big( (3-\lambda)(1-\lambda)+1\big)$ [/mm]

... und schon steht es da ;-)

Man muss bei der Entwicklung aber auf das Vorzeichen aufpassen (siehe Link oben). Hier sind allerdings alle Teile, die ein "-" bekommen würden 0.

Lieben Gruß,
Fulla