Bestimmung der Wahrscheinlichk < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 So 01.07.2007 | | Autor: | franzi |
| Aufgabe 1 | | Eine Urne enthält 6 schwarze und 8 weiße Kugeln. 5 Kugeln werden mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 (Genau 4; alle) der gezogenen Kugeln schwarz sind? Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich, wenn ohne zurücklegen gezogen wird? |
| Aufgabe 2 | | Eine Firma, die einen Massenartikel in Paketen zu je 15 Stück an den Einzelhandel vertreibt, vereinbart, dass Pakete mit mehr als 2 schadhaften Stücken nicht berechnet werden. Wieviel Prozent der ausgelieferten Pakete muss die Firma als unberechnet kalkulieren, wenn ihr bekannt ist, dass durchschnittlich nur 2% der Artikel schadhaft sind? |
Hallo... Wäre echt nett wenn mir jemand behilflich sein könnte. Ich habe keine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen könnte und ob es eine Formel dafür gibt. Wäre super wenn mir jemand den Rechenweg so zeigen könnte, dass ich ihn Schritt für Schritt nachvollziehen kann.
Schon mal vielen Dank für die Hilfe !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 So 01.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi franzi,
> Eine Urne enthält 6 schwarze und 8 weiße Kugeln. 5 Kugeln
> werden mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 (Genau 4; alle) der
> gezogenen Kugeln schwarz sind? Welche Wahrscheinlichkeiten
> ergeben sich, wenn ohne zurücklegen gezogen wird?
Okay.
> Hallo... Wäre echt nett wenn mir jemand behilflich sein
> könnte. Ich habe keine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen
> könnte und ob es eine Formel dafür gibt. Wäre super wenn
> mir jemand den Rechenweg so zeigen könnte, dass ich ihn
> Schritt für Schritt nachvollziehen kann.
Du hast nicht einmal einen Ansatz? Es ist immer besser, wenn du schon einen Ansatz hast und uns den dann auch mitteilst.
Wenn du wirklich keinen Ansatz hast, wollen wir einmal zusammen versuchen, die 1. Aufgabe zu lösen:
Das hast du: 6 schwarze und 8 weiße Kugeln.
Das machst du: 5 Kugeln ziehen.
Du willst wissen:
> Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 (Genau 4; alle) der
> gezogenen Kugeln schwarz sind?
So dann fangen wir mal an. Was für Möglichkeiten gibt es, dass du 5 Kugeln ziehst und 3 davon sind schwarz?
[mm] \vektor{5 \\ 3}=\bruch{5!}{3!*(5-2)!}=10
[/mm]
Du hast also 10 Mgl. 3 schwarze und 2 weiße Kugeln zu ziehen:
s:=schwarz,w:=weiß
sssww
sswsw
sswws
swsws
swwss
wswss
wwsss
wsssw
wssws
swssw
Ich hoffe, ich habe keine doppelt aufgezählt.
[mm] 1.\blue{MIT} [/mm] Zurücklegen:
Rechnen wir doch einfach mal die Wahrscheinlichkeit für
sssww aus.
Da wir im Moment nach jedem Ziehen die gezogene Kugel wieder zurücklegen, befinden sich bei jedem Zug 14 Kugeln in der Urne.
Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen beträgt [mm] \bruch{6}{14}=\bruch{3}{7} [/mm] und eine weiße zu ziehen [mm] \bruch{8}{14}=\bruch{4}{7}.
[/mm]
Das Ereignis sssww:
[mm] \bruch{3}{7}*\bruch{3}{7}*\bruch{3}{7}*\bruch{4}{7}*\bruch{4}{7}=...
[/mm]
(finde meinen Taschenrechner gerade nicht, und das im Kopf zu rechnen...  )
Du musst bedenken, dass es für dieses Ereignis (3 schwarze und zwei weiße Kugeln) 10 Möglichkeiten gibt. Du musst also
[mm] 10*(\bruch{3}{7}*\bruch{3}{7}*\bruch{3}{7}*\bruch{4}{7}*\bruch{4}{7})
[/mm]
berechnen.
So gehst du auch vor bei 4 schwarzen und 5 schwarzen Kugeln.
2. [mm] \blue{Ohne} [/mm] Zurücklegen:
Das heißt, nach jedem Zug ist eine Kugel weniger in der Urne.
Die Möglichkeit sssww zu ziehen, ist dann:
[mm] \bruch{6}{14}*\bruch{5}{13}*\bruch{4}{12}*\bruch{8}{11}*\bruch{7}{10}=...
[/mm]
Das nur so als Tipp; du bekommst das jetzt sicher hin.
> Schon mal vielen Dank für die Hilfe !!!
Ich hoffe, es hilft.
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Mo 02.07.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ja klar gibt es Formeln für deine Aufgaben:
1. Ziehen mit Zurücklegen
- nur zwei mögliche Ergebnisse (s oder w; treffer oder niete...)
- konstante trefferwahrscheinlichkeit für jede ziehung
=> Bernoulli-Experiment bzw. Binomialverteilung.
P(X=k) = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k}
[/mm]
mit k= Anzahl der Treffer; p= Trefferwahrscheinlichkeit; (1-p)= Wahrscheinlichkeit für einen Nichttreffer; n= Anzahl der Ziehungen
Aufgabe 1 a) mit Zurücklegen
Es sollen 3 schwarze Kugeln gezogen werden, d.h. es werden bei fünf Ziehungen 2 weisse Kugeln gezogen. Definieren wir hier das Ziehen einer schwarzen Kugel als Treffer, dann...
Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine schwarze Kugel zu ziehen beträgt bei jeder Ziehung p = [mm] \bruch{6}{14} [/mm] = [mm] \bruch{3}{7}
[/mm]
P(X=3) = [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{7})^3 [/mm] * [mm] (\bruch{4}{7})^2
[/mm]
2. Ziehen ohne Zurücklegen
=> Hypergeometrische Verteilung
P(X=k) = [mm] \bruch{\vektor{M \\ k}\vektor{N-M \\n-k }}{\vektor{N \\ n}}
[/mm]
mit N= Gesamtanzahl Kugeln, n= Gesamtanzahl Ziehungen; M= Anzahl weisse Kugeln, N-M= Anzahl schwarze Kugeln; k= Anzahl gezogene weisse Kugeln,
n-k= Anzahl gezogene schwarze Kugeln.
Aufgabe 1 a) ohne Zurücklegen
Es sollen 3 schwarze Kugeln gezogen werden, d.h. es werden 2 weisse Kugeln gezogen... [Damit ich mein Modell nicht umformulieren muss, definiere ich hier als Treffer: Ziehen einer weissen Kugel; spielt im Prinzip aber keine Rolle]
P(X=2) = [mm] \bruch{\vektor{8 \\ 2}\vektor{14-8 \\5-2 }}{\vektor{14 \\ 5}}
[/mm]
P(X=2) = [mm] \bruch{\vektor{8 \\ 2}\vektor{6 \\3 }}{\vektor{14 \\ 5}}
[/mm]
gruß
wolfgang
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Artikel schadhaft: 2 % = Artikel okay: 98 %
Alle 15 Artikel okay (Null schadhaft): [mm] 0.98^{15}=0.7385
[/mm]
14 Artikel okay (1 schadhaft): [mm] 0.98^{14}*0.02*15=0.2260
[/mm]
13 Artikel okay (2 schadhaft): [mm] 0.98^{13}*0.02^{2}*\bruch{15*14}{2}=0.0248
[/mm]
Die Summe (Null, Eins oder Zwei schadhaft) ist 0.9893
Das heißt: Mehr als zwei Schadhaft ist 0.0107 oder 1.07 % der Pakete wird nicht berechnet.
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