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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Bestimmung der Eigenvektoren

Bestimmung der Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Bestimmung der Eigenvektoren: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:35 Mi 26.01.2011
Autor:	anno

Aufgabe

 Bestimmen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren folgender Matrix.

[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm]

Hallo,

ich habe die Eigenwerte herausbekommen, doch wie komme ich da nun auf die Eigenvektoren.

Eigenwerte:

[mm] \vmat{ 2-\lambda & 0 \\ 0 & -4-\lambda } [/mm] = [mm] (2-\lambda)(-4-\lambda)-0 [/mm] = -8 [mm] -2\lambda+4\lambda+\lambda^{2} [/mm] = [mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] - 8

Mit Mitternachtsformel:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -4

Wie bestimme ich daraus jetzt die Eigenvekoren?

Bezug

Bestimmung der Eigenvektoren: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:45 Mi 26.01.2011
Autor:	fred97

> Bestimmen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen
> Eigenvektoren folgender Matrix.
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
>  Hallo,
>
> ich habe die Eigenwerte herausbekommen, doch wie komme ich
> da nun auf die Eigenvektoren.
>
> Eigenwerte:
>
> [mm]\vmat{ 2-\lambda & 0 \\ 0 & -4-\lambda }[/mm] =
> [mm](2-\lambda)(-4-\lambda)-0[/mm] = -8
> [mm]-2\lambda+4\lambda+\lambda^{2}[/mm] = [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]2\lambda[/mm] -
> 8
>
> Mit Mitternachtsformel:
>  [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2
>  [mm]\lambda_{2}[/mm] = -4

Tipp: Du willst doch die Nullstellen des Polynoms [mm](2-\lambda)(-4-\lambda)[/mm]  bestimmen. Dieses liegt fein säuberlich faktorisiert vor ! Dann brauchst Du doch nicht ausmultiplizieren und die Mitternachst formel bemühen. Das ist doch mit Kanonen auf Spatzen geschossen !

                        [mm](2-\lambda)(-4-\lambda)=0[/mm]

     ................ ein Produkt  ist = 0   genau dann, wenn einer der Faktoren = 0 ist ...........
>
> Wie bestimme ich daraus jetzt die Eigenvekoren?

Sei [mm] \lambda \in [/mm] { 2, -4 }. Löse das LGS

             [mm]\pmat{ 2-\lambda & 0 \\ 0 & -4-\lambda } \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}[/mm]

Jede Lösung  [mm] \vektor{x \\ y} \ne \vektor{0 \\ 0} [/mm] dieses LGS ist ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm]

FRED