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Bestimmung der Eigen. von g.r.: Annäherung, Art der Def. Lücke

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:47 Do 28.11.2013
Autor:	tim92

Aufgabe

1 Geben Sie die Art der Def. Lücke an

2Bestimmen Sie Anzahl Lage und Vielfachheit der Nullstellen von fk in Abhänigkeit von k

3 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte in der näheren Umgebung der Definitionslücke

4Ermitteln Sie die Gleichung der Asymptote

weiß nicht wie ich diese lösen soll.... wäre für Hilfen dankbar

Wollte erst kx ausklammern aber kann ja nichts rauskürzen da die eins ja bleibt und man aus Summen nicht kürzen kann

[mm] \bruch{k^2x^2+k^2x+1}{kx} [/mm]

k ist Element der reellen Zahlen außer 0
Definitionsmenge= " " " 0

•Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Bestimmung der Eigen. von g.r.: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	00:47 Fr 29.11.2013
Autor:	M.Rex

Hallo und

> 1.1 Geben Sie die Art der Def. Lücke an
> 1.2Bestimmen Sie Anzahl Lage und Vielfachheit der
> Nullstellen von fk in Abhänigkeit von k
> 1.3 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte in
> der näheren Umgebung der Definitionslücke
> 1.4Ermitteln Sie die Gleichung der Asymptote

>
>
>
> weiß nicht wie ich diese lösen soll.... wäre für Hilfen
> dankbar

>
> Wollte erst kx ausklammern aber kann ja nichts rauskürzen
> da die eins ja bleibt und man aus Summen nicht kürzen
> kann

>
>
> [mm]\bruch{k^2x^2+k^2x+1}{kx}[/mm]

>
> k ist Element der reellen Zahlen außer 0
> Definitionsmenge= " " " 0

Aufgabe 1: x=0 ist eine Polstelle, da x=0 den Nenner zu Null machen würde, den Zähler aber nicht.

In Aufgabe 2) musst du überlegen, dass ein Bruch genau dann Null ist, wenn der Zähler Null ist (und der Nenner nicht).
Also löse hier
[mm] k^{2}x^{2}+k^{2}x+1=0 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}+x+\frac{1}{k^{2}}=0 [/mm]

Also:
[mm] x_{1;2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{k^{2}}} [/mm]

Überlege aber auch mal, wann es genau eine Nullstelle gibt, wann es zwei Nullstellen gibt, und wann es keine NST gibt. Dazu schau mal auf die Diskriminante.

In Aufgabe 1.3 musst du mal die beiden Grenzwerte
[mm] \lim\limits_{x\to0\uparrow}\frac{k^{2}x^{2}+k^{2}x+1}{kx} [/mm]
und
[mm] \lim\limits_{x\to0\downarrow}\frac{k^{2}x^{2}+k^{2}x+1}{kx} [/mm]
untersuchen, je nach Verhalten hast du dann bei x=0 eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel.

In Aufgabe 4 mache die Polynomdivision:
[mm] \frac{k^{2}x^{2}+k^{2}x+1}{kx}=\underbrace{kx+k}+\frac{1}{kx} [/mm]

Der ganzrationale (unterklammerte) Teil ist dann die Asymptote, denn wenn [mm] x\to\infty [/mm] wird der gebrochene Teil [mm] \frac{1}{kx} [/mm] "de facto" Null.

Schau aber auch mal unter Kapitel 4.6 bei

Poenitz-net

Marius