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Forum "Differenzialrechnung" - Bestimmung der Ableitung
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Bestimmung der Ableitung: h-Methode
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 So 05.01.2020
Autor: chris_muc

Liebe alle,

ist es möglich die Ableitung einer Funktion f an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] über die h-Methode mit den Ansatz
[mm] f´(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h} [/mm] zu bestimmen?

Meiner Meinung nach ist es nicht möglich, was rechnerisch (vermeintlich) leicht zu zeigen ist. Vorzeichen passt nicht.

Wie sieht eine Begründung geometrisch betrachtet über die Sekantensteigung aus? Kann mir da jemand helfen?

Lieben Dank
Gruß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Bestimmung der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 So 05.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ist es möglich die Ableitung einer Funktion f an der
> Stelle [mm]x_{0}[/mm] über die h-Methode mit den Ansatz
> [mm]f´(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}[/mm]
> zu bestimmen?

Vorweg: Ich gehe davon aus, dass du [mm] $\lim_{h\to 0}$ [/mm] meinst, ansonsten macht der ganze Ausdruck keinen Sinn.
Das kommt darauf an, was du mit "bestimmen" meinst.
Die so definierte Ableitung hat halt nur das umgekehrte Vorzeichen zur "normalen" Definition. Wenn dir das bewusst ist, kann man die "normale" Ableitung ganz normal berechnen über [mm] $f'_{\text{chris\_muc}}(x_{0}) [/mm]  = [mm] -f'(x_0)$ [/mm]

> Meiner Meinung nach ist es nicht möglich, was rechnerisch
> (vermeintlich) leicht zu zeigen ist. Vorzeichen passt nicht.

Wenn deine Frage war, ob der Wert der Ableitung identisch ist mit der Standarddefinition: Nein, sie unterscheiden sich im Vorzeichen.

> Wie sieht eine Begründung geometrisch betrachtet über die
> Sekantensteigung aus? Kann mir da jemand helfen?

Die Sekante, die da heraus kommt, ist exakt die selbe, wie vorher auch.
Allerdings entspricht die oben definierte Ableitung dann eben nicht mehr der Sekantensteigung, sondern definitionsgemäß der negativen Sekantensteigung.
Das sieht man aber besser, wenn man obiges in die [mm] $x-x_0$-Form [/mm] umformt.

D.h. deine Definition ist weniger "natürlich" und geometrisch nicht mehr ganz so schön.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Bestimmung der Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 05.01.2020
Autor: chris_muc

Entschuldige, mein Fehler. Ok, verstehe ich! Danke


Wenn ich mir jedoch geometrisch meine Sekante durch die Punkte in [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{0}+h [/mm] im Vergleich zu der Sekante durch [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{0}-h [/mm] vorstelle, dann laufen doch beide durch den Grenzwertprozess für [mm] h\rightarrow\ [/mm] 0 auf die gleiche Tangente. Wieso stimmen sie dann im Vorzeichen nicht überein?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 So 05.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn ich mir jedoch geometrisch meine Sekante durch die
> Punkte in [mm]x_{0}[/mm] und [mm]x_{0}+h[/mm] im Vergleich zu der Sekante
> durch [mm]x_{0}[/mm] und [mm]x_{0}-h[/mm] vorstelle, dann laufen doch beide
> durch den Grenzwertprozess für [mm]h\rightarrow\[/mm] 0 auf die
> gleiche Tangente.

Korrekt, darum schrieb ich ja: Geometrisch erhältst du die selbe Sekanten (und damit im Grenzprozess die selbe Tangente).

> Wieso stimmen sie dann im Vorzeichen nicht überein?

Weil der "normale" Ausdruck [mm] $\frac{f(x_0 + h) - f(x)}{h}$ [/mm] ja gar nicht die Sekante selbst beschreibt, sondern den Anstieg der Sekanten!

Und das ist bei deiner Definition eben nicht mehr der Fall.
Deine Definition [mm] $\frac{f(x_0 - h) - f(x)}{h}$ [/mm] beschreibt die negative Sekantensteigung. D.h. im Grenzprozess erhältst du dann eben die negative Tangentensteigung.

Gruß,
Gono



Bezug
                                
Bezug
Bestimmung der Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 So 05.01.2020
Autor: chris_muc

Ahhh, das macht Sinn! :)

Lieben Dank!

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Di 07.01.2020
Autor: fred97

[mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}=-\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}=-f'(x_0).$ [/mm]

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