Bestimmung Supremum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Kann mir jemand helfen?
Ich möchte das Supremum, Inf., Max., Min. von folgender Menge bestimmen:
M={ [mm] (-\bruch{1}{2})^{n} [/mm] |n [mm] \in \IN [/mm] }
So, das Supremum ist 0,25 und Infimum ist -0,5. Man kann das ja sofort sehn. Aber ich krieg das irgendwie nicht bewiesen. Danke vielmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
Was ist das Problem des Beweises? Du musst also z.B. folgende Ungleichung zeigen:
[mm] $\left(-\bruch{1}{2}\right)^n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..also Umformen macht hier nicht so viel Sinn. Hier wäre es doch ratsam, das mithilfe des Induktionsprinzips zu beweisen?
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> Hmm..also Umformen macht hier nicht so viel Sinn. Hier
> wäre es doch ratsam, das mithilfe des Induktionsprinzips
> zu beweisen?
Klar macht Umformen Sinn, weil rechts eine Zweierpotenz steht.
Dann bekommst du sowohl beim INF als auch beim SUP Nachweis eine Ungleichung der Form
[mm] $\left(-\frac{1}{2}\right)^{n - 1\ bzw.\ 2} \le [/mm] 1$
Wenn du willst, kannst du jetzt noch eine Fallunterscheidung für die positiven und negativen Werte machen, aber unter dem Strich kannst du eine Zahl, die kleiner als 1 ist (hier 0,5), so oft mit sich selbst multiplizieren wie du willst, sie wird nie über die 1 hinauskommen. Also gilt die Ungleichung für alle n und du hast deinen Beweis.
lg weightgainer
p.s. Variante:
Du teilst die Menge in die positiven und negativen Elemente auf und zeigst, dass die jeweils monoton sind und dann geben hier die ersten Teilfolgeglieder auch gerade die Grenzen an.
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