Bestimmung Ortskurve/Wendetang < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 25.05.2008 | | Autor: | hesse_1 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Kurvenschar fa(x) = x³ - 3ax² (a > 0)
1. Bestimme die Ortskurve der Extrema.
2. Bestimme die Gleichung der Wendetangente.
3. Welche Kurve der Schar fa hat an der Stelle x=1,5 die Steigung 0,75?
4. Welche Auswirkungen hat die Aufhebung der Beschränkung a > 0 auf die Kurvenschar? |
Als Extrema habe ich x=0 und x=2a raus..
um die ORtskurve zu bestimmen, muss ich doch den TP ( in dem Fall 2a/-4a³ ), also den x-Wert vom TP, nach a umstellen und in den y-Wert einsetzen oder?
Bei der Gleichung der Wendetangente muss ich doch die 2. Ableitung nehmen, also fa''(x)=6x-6a. Aber was nun? Ich habe ehrlich keine Ahnung und morgen schreibe ich schon die Klausur :( Ihr seid meine letzte Rettung!
Bei 3. muss ich dann die 1. Ableitung nehmen und 1.5 einsetzen, dass gleich 0,75 und nach a auflösen oder, sodass ich 2/3 rausbekomme. Stimmt das?
Zu 4.: Kann es sein, dass der HP zum TP wird und der TP zum HP? Anderes kann ich mir nicht erklären, jedoch fehlt mir die Erklärung. Bitte helft mir, morgen muss ich ran in der Schule, Klausurtermin!!!
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 25.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo [mm] hesse_1,
[/mm]
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Als Extrema habe ich x=0 und x=2a raus..
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> um die ORtskurve zu bestimmen, muss ich doch den TP ( in
> dem Fall 2a/-4a³ ), also den x-Wert vom TP, nach a
> umstellen und in den y-Wert einsetzen oder?
Richtig ...
> Bei der Gleichung der Wendetangente muss ich doch die 2.
> Ableitung nehmen, also fa''(x)=6x-6a.
> Aber was nun?
Berechne nun zunächst die Wendestelle mittels [mm] $f_a''(x) [/mm] \ = \ 0$ .
Anschließend den zugehörigen Funktionwert [mm] $f_a(x_w)$ [/mm] sowie die entsprechende Steigung [mm] $f_a'(x_w)$ [/mm] berechnen und in die Punkt-Steigungs-Form für Geraden einsetzen:
$$m \ = \ [mm] f'(x_w) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_w}{x-x_w}$$
[/mm]
> Bei 3. muss ich dann die 1. Ableitung nehmen und 1.5
> einsetzen, dass gleich 0,75 und nach a auflösen oder,
> sodass ich 2/3 rausbekomme. Stimmt das?
> Zu 4.: Kann es sein, dass der HP zum TP wird und der TP
> zum HP?
Richtig! Denke auch mal über den Sonderfall $a \ = \ 0$ nach. Gibt es dann Extrema?
> ..., jedoch fehlt mir die Erklärung.
Was ändert sich denn bei dem hinreichenden Kriterium (Einsetzen der Extrema in die 2. Ableitung)?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 25.05.2008 | | Autor: | hesse_1 |
Zitat: Berechne nun zunächst die Wendestelle mittels [mm]f_a''(x) \ = \ 0[/mm]
> .
>
> Anschließend den zugehörigen Funktionwert [mm]f_a(x_w)[/mm]
als x-wert des WP habe ich a raus, dass dann in f(x) eingesetzt erhalte ich -2a³?? kann das sein?
aber wie rechne ich die steigung aus?
und zu 4.: wenn a=0 dann habe ich keine extremwerte mehr oder? da bei f'(x) ja nur 3x² rauskommt, aber ich hier keine extremwerte berechnen kann. oder? stimmt das?
vielen dank loddar für deine hilfe 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 25.05.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo [mm] hesse_1,
[/mm]
> Zitat: Berechne nun zunächst die Wendestelle mittels
> [mm]f_a''(x) \ = \ 0[/mm]
> > .
> >
> > Anschließend den zugehörigen Funktionwert [mm]f_a(x_w)[/mm]
>
> als x-wert des WP habe ich a raus, dass dann in f(x)
> eingesetzt erhalte ich -2a³?? kann das sein?
Ich hab' die Rechnung kurz überschlagen und komme dabei auf dasselbe Ergebnis.
> aber wie rechne ich die steigung aus?
Die erste Ableitung gibt immer die Steigung an. Also ist die Steigung der Wendetangente f'(a).
>
> und zu 4.: wenn a=0 dann habe ich keine extremwerte mehr
> oder? da bei f'(x) ja nur 3x² rauskommt, aber ich hier
> keine extremwerte berechnen kann. oder? stimmt das?
fa(x) = x³ - 3ax² (a > 0)
Du kannst natürlich auch hier die erste Ableitung gleich 0 setzen und würdest x=0 herausbekommen. Wenn du die Sache weiter untersuchst, siehst Du aber, dass x=0 Wendestelle ist. Du kennst aber wahrscheinlich den Verlauf des Graphen von $ f(x) = [mm] x^3 [/mm] $ ohne Untersuchung.
Gruß
Sigrid
> vielen dank loddar für deine hilfe
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