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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mo 19.02.2007 | | Autor: | eth0 |
| Aufgabe | Gegeben ist die folgende reelle Zeitfunktion:
[mm] f(t)=\begin{cases} A & \mbox{für } 0 < t \le \frac{T}{2} \\ -A & \mbox{für } \frac{T}{2} < t \le T \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Skizzieren Sie f(t) und bestimmen Sie die komplexen Koeffizienten [mm] F_n [/mm] der Approximation im Intervall [0..T] gemäß
[mm] f_N(t) [/mm] = [mm] \sum_{n=-\infty}^{n=\infty}{F_n\cdot e^{jn\Omega t}}. [/mm] |
Ich habe [mm] F_1 [/mm] nach [mm] \frac{1}{T}\cdot\int_0^T{f(t)\cdot e^{-jn\Omega t}dt} [/mm] berechnet als [mm] F_1=\frac{A}{j2\pi n}\cdot\left(1-e^{-j\pi n}\right)^2.
[/mm]
[mm] F_n=0 [/mm] für gerade n (dazu: [mm] \lim_{n\rightarrow 0}{F_n} [/mm] = 0)
[mm] F_n=\frac{2A}{j\pi n} [/mm] für ungerade n
also [mm] F_n=-j\cdot\frac{2A}{\pi n}=\frac{2A}{\pi n}\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} [/mm] für ungerade n.
Das heißt, es bleibt für [mm] f_n(t) [/mm] übrig:
[mm] f_n(t)=...+F_{-1}e^{-j\Omega t}+F_1e^{j\Omega t}+...
[/mm]
Da f(t) reell ist, gilt: [mm] F_{-n}=F_n^\* [/mm] mit [mm] F_1=|{F_1}|\cdot e^{+j\Phi_1}.
[/mm]
Demnach:
[mm] f_n(t)=...+|F_{-1}|e^{-j(\Omega t+\Phi_1})+|F_1|e^{j(\Omega t+\Phi_1)}+...
[/mm]
[mm] f_n(t)=2|F_1|cos(\Omega t+\Phi_1)+2|F_3|cos(3\Omega t+\Phi_3)+...
[/mm]
Jetzt kommt die Stelle, die ich nicht verstehe: als nächstes wird aus [mm] cos(\Omega t+\Phi_1) [/mm] ein [mm] sin(\Omega [/mm] t) gemacht. Das gilt meiner Meinung nach nur dann, wenn [mm] \Phi_1=-90° [/mm] ist. Woher kommen aber diese -90°, die mir diesen Übergang erlauben? Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte.
Die nächste Zeile lautet, der Vollständigkeit halber:
[mm] f_n(t)=2|F_1|sin(\Omega t)+2|F_3|sin(3\Omega [/mm] t)+...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mo 19.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab mal die Zeile, aus der die 90 [mm] grad=\pi/2 [/mm] kommen blau gemacht, reicht dir das?
(Anderes Argument, du hast ne ungerade fkt, die wird immer durch si dargestellt, da cos gerade)
> Gegeben ist die folgende reelle Zeitfunktion:
>
> [mm]f(t)=\begin{cases} A & \mbox{für } 0 < t \le \frac{T}{2} \\ -A & \mbox{für } \frac{T}{2} < t \le T \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Skizzieren Sie f(t) und bestimmen Sie die komplexen
> Koeffizienten [mm]F_n[/mm] der Approximation im Intervall [0..T]
> gemäß
>
> [mm]f_N(t)[/mm] = [mm]\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}{F_n\cdot e^{jn\Omega t}}.[/mm]
>
> Ich habe [mm]F_1[/mm] nach [mm]\frac{1}{T}\cdot\int_0^T{f(t)\cdot e^{-jn\Omega t}dt}[/mm]
> berechnet als [mm]F_1=\frac{A}{j2\pi n}\cdot\left(1-e^{-j\pi n}\right)^2.[/mm]
>
> [mm]F_n=0[/mm] für gerade n (dazu: [mm]\lim_{n\rightarrow 0}{F_n}[/mm] = 0)
> [mm]F_n=\frac{2A}{j\pi n}[/mm] für ungerade n
also [mm]F_n=-j\cdot\frac{2A}{\pi n}=\frac{2A}{\pi n}\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}[/mm]
für ungerade n.
>
> Das heißt, es bleibt für [mm]f_n(t)[/mm] übrig:
>
> [mm]f_n(t)=...+F_{-1}e^{-j\Omega t}+F_1e^{j\Omega t}+...[/mm]
>
> Da f(t) reell ist, gilt: [mm]F_{-n}=F_n^\*[/mm] mit [mm]F_1=|{F_1}|\cdot e^{+j\Phi_1}.[/mm]
>
> Demnach:
>
> [mm]f_n(t)=...+|F_{-1}|e^{-j(\Omega t+\Phi_1})+|F_1|e^{j(\Omega t+\Phi_1)}+...[/mm]
>
> [mm]f_n(t)=2|F_1|cos(\Omega t+\Phi_1)+2|F_3|cos(3\Omega t+\Phi_3)+...[/mm]
>
> Jetzt kommt die Stelle, die ich nicht verstehe: als
> nächstes wird aus [mm]cos(\Omega t+\Phi_1)[/mm] ein [mm]sin(\Omega[/mm] t)
> gemacht. Das gilt meiner Meinung nach nur dann, wenn
> [mm]\Phi_1=-90°[/mm] ist. Woher kommen aber diese -90°, die mir
> diesen Übergang erlauben? Wäre super, wenn mir das jemand
> erklären könnte.
>
> Die nächste Zeile lautet, der Vollständigkeit halber:
>
> [mm]f_n(t)=2|F_1|sin(\Omega t)+2|F_3|sin(3\Omega[/mm] t)+...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Di 20.02.2007 | | Autor: | eth0 |
Perfekt, dankeschön. Das war meine Annahme, die ich aber selbst nicht ganz auf den Punkt bringen konnte. Merci :)
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