Bestimmu. d. Tangentenfunktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 14.10.2008 | | Autor: | lexxy |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Steigung der Tangente, [mm] \alpha [/mm] und die Tangentenfunktion für f und [mm] P_0!
[/mm]
x [mm] \Rightarrow \bruch{1}{8}x^3 [/mm] ; [2;3] |
Hallo Gemeinschaft.
ich habe die Aufgabe genauso wie sie da steht vorliegen. Leider kann ich nicht genau erschließen was denn mit [mm] \alpha [/mm] gemeint ist oder ob [2;3] P bzw. [mm] P_0 [/mm] ist.
Und hier mein Lösungsvorschlag:
Um diesen Spaß richtig anzupacken brauch ich erstmal diese tolle Formel:
[mm] \limes_{h\rightarrow\00 } \bruch{f(x_0 \pm h) - f(x_0)}{h}
[/mm]
Was ist [mm] x_0 [/mm] ? Der Anstieg der Tangente zwischen dem Scheitelpunkt und [2;3]? Leider häng ich an diesem Punkt immer..
Hier nehm ich einfach mal an, dass [mm] x_0 [/mm] = 1
.. und in diese Formel würde ich wie folgt einsetzen:
[mm] \limes_{h\rightarrow\00 } \bruch{\bruch{1}{8}(1 + h)^3 - \bruch{1}{8}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\00 } \bruch{\bruch{1}{2}h + \bruch{3}{8}h²}{h} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Soweit richtig? Falls nicht: Was mach ich falsch?
Jetzt kommt die nächste große Hürde für mich. Wie komm ich mit dem Wissen, dass die Steigung der Tangente 0,5 ist zur Tangentengleichung?
Ich hoffe ich hab mein Problem einigermaßen verständig darlegen können.
Danke für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Di 14.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lexxy!
Leider sind Deine Ansätze nicht richtig ... Mach Dir mal eine Skizze mit der Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*x^3$ [/mm] und zeichne auch den Punkt [mm] $P_0 [/mm] \ [mm] \left( \ 2 \ | \ 3 \ \right)$ [/mm] ein.
Dieser liegt nicht auf dem Funktionsgraph von $f_$ .
Von diesem Punkt ist nun die Gerade gesucht, welche auch eine Tangente an $f_$ bildet. Dabei ist der Berührpunkt von Funktion und Tangente bis dato unbekannt.
Nennen wir diesen nun: $B \ [mm] \left( \ b \ | \ f(b) \ \right)$ [/mm] .
Die gesuchte Tangentngleichung ist eine Geradengleichung mit folgender allgemeiner Form: $t(x) \ = \ m*x+n$ .
Dabei wissen wir nun, dass folgende beiden Gleichungen gelten müssen, damit $t(x)_$ auch eine Tangente im Punkt $B_$ ist:
$$f(b) \ = \ t(b) \ \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \bruch{1}{8}*b^3 [/mm] \ = \ m*b+n$$
$$f'(b) \ = \ t'(b) \ \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \bruch{3}{8}*b^2 [/mm] \ = \ m$$
Zudem muss ja auch noch gelten:
$$t(2) \ = \ m*2+n \ = \ 3$$
Damit hast du nun ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten (m,n und b) sowie 3 Gleichungen ...
Gruß
Loddar
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