Bestimmte Hyperbel gesucht. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich suche den Hyperbelast, der sich für x gegen minus unendlich an die Asymptote x=0 und für x gegen unendlich an die Asymptote y=x anschmiegt. Der Ast soll im positiven y bereich liegen.
Ich habe bereits die Funktionen:
[mm] f(x)=\bruch{x}{1+e^{-x}}
[/mm]
Leider hat sie ein Minimum im negativen Bereich kurz vor der Nullstelle.
Die Funktion:
[mm] f(x)=\wurzel{\bruch{(x^2+1)*e^x}{x^2+1+e^x}}
[/mm]
fällt leider unter f(x)=x kurz nach dem Übergang.
Ich denke es muss doch eine Hyperbel geben, die sich den beiden Asymptoten anschmiegt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=160943
Vielen Dank schon mal im Vorraus!
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Hallo fachmeister,
> ich suche den Hyperbelast, der sich für x gegen minus
> unendlich an die Asymptote x=0 und für x gegen unendlich
> an die Asymptote y=x anschmiegt. Der Ast soll im positiven
> y bereich liegen.
Eine kompliziertere Form, die dafür sehr schnell an beide Asymptoten geht und deren Ableitung nur bei x=0 zu Null wird (ohne dass ein Extremum vorliegt) wäre diese:
[mm] h(x)=e^{-x^2-5}+\bruch{1}{2}(x+|x|)*(1-e^{-x})
[/mm]
Schöner ist diese einfache Hyperbel:
[mm] f(x)=-\bruch{2}{x-\wurzel{x^2+4}}
[/mm]
Hier ein Ausschnitt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
reverend
PS: Die Funktion, die für [mm] x\le0 [/mm] den Wert y=0 und für x>0 den Wert y=x liefert, ist natürlich [mm] g(x)=\bruch{1}{2}(x+|x|). [/mm] Die habe ich in der Vorschrift für h(x) mit verwurstet, was auf viele andere Weisen geht.
Die obige Hyperbel dagegen ist eindeutig. Eine engere Annäherung an den Ursprung geht hier nur über eine Parameterform, z.B. [mm] \IR^{-}\to\IR\times\IR^{+}: t\to (x(t),y(t))=(t-t^{-3},-t^{-3}). [/mm] Das ist eine Hyperbel dritten Grades.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Vielen vielen Dank reverend für deine Ausführliche Antwort. Auch für deine Mühe mit deiner Formel h(x). Allerdings ist die einfachere Hyperbel f(x) von dir schon genau das wonach ich die ganze Zeit gesucht habe. Es kommt mir gar nicht auf eine noch genauere Annäherung an den Ursprung an. Wichtig war für mich, dass die Funktion eine immer postive Ableitung hat, und nie unter die Asymptoten sinkt. Der leichte Bogen als Übergang zwischen den Asymptoten ist sogar gewollt. Gibt es vielleicht eine Möglichkeit den Bogen durch Veränderung eines oder mehrerer Werte von f(x) nach einer gewissen Vorschrift zu variieren sodass die Kurve sogar noch etwas größer wird?
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Hallo fachmeister,
ich bin von der Parameterdarstellung der Hyperbel (so wie für höhere Grade angegeben) ausgegangen und habe dann die "schrägen" Koordinaten rücktransformiert in x,y. Dabei ist nur der positive Ast übergeblieben, den negativen kann man aber separat herleiten - nur ist er ja hier nicht gefragt.
> Vielen vielen Dank reverend für deine Ausführliche
> Antwort. Auch für deine Mühe mit deiner Formel h(x).
> Allerdings ist die einfachere Hyperbel f(x) von dir schon
> genau das wonach ich die ganze Zeit gesucht habe. Es kommt
> mir gar nicht auf eine noch genauere Annäherung an den
> Ursprung an. Wichtig war für mich, dass die Funktion eine
> immer postive Ableitung hat, und nie unter die Asymptoten
> sinkt. Der leichte Bogen als Übergang zwischen den
> Asymptoten ist sogar gewollt. Gibt es vielleicht eine
> Möglichkeit den Bogen durch Veränderung eines oder
> mehrerer Werte von f(x) nach einer gewissen Vorschrift zu
> variieren sodass die Kurve sogar noch etwas größer wird?
Da gibt es drei Möglichkeiten, soweit ich sehe:
1) Eine einfache Koordinatendehnung, also z.B. durch u=ax, v=ay. Dann ist in neuen Koordinaten einfach die Funktionsgleichung v=f(u) zu finden. Ggf. kann man auch wieder umbenennen, um die gewohnten Variablenbezeichnungen zu haben.
2) Oder zurück zur Parameterdarstellung, dann mit einem Exponenten <1. Dazu braucht man im Nenner der Funktionen dann noch Betragsstriche, was ja auch "kein Ding" ist.
3) Oder einen ganz anderen Ansatz, nämlich stückweise Definition. Du suchst zwei Funktionen (oder auch die vorliegende) für die Bereiche [mm] (-\infty,-b] [/mm] und [mm] [c,\infty), [/mm] die Deinen Vorstellungen genügen und verbindest beide im Intervall [mm] x\in\(-b,c) [/mm] durch einen passenden Ausschnitt einer ![[]](/images/popup.gif) Klothoide. Da kannst Du fast jeden gleichmäßigen Krümmungsverlauf festlegen. Frag einen Bauingenieur (vorzugsweise Straßenbau, evtl. auch Tiefbau), wie man das macht. 
Möglichkeit 1) ist aber sicher die praktikabelste.
Grüße
reverend
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Vielen Dank. Die Möglichkeit 1 klappt schon sehr gut. Ich komme auf die Form:
[mm] f(x)=\bruch{\bruch{1}{a}}{a*x-\wurzel{(P*x)^{2}+4}}
[/mm]
Im zweifel werde ich diese Variante nehmen.
Allerdings wollte ich noch gegen Möglichkeit 2 abwägen. Könnte mir gut vorstellen, dass der exponent einen etwas besseren verlauf ermöglicht.
Also würde ich Möglichkeit 2 gerne weiter verfolgen.
[mm] f(x)=\bruch{-2}{x-(\left|x\right|^{2*a}+4)^{\bruch{a}{2}}}
[/mm]
mit a<1
bringt allerdings einen sehr chaotischen verlauf. Ich denke ich verstehe die Form noch nicht ganz richtig. Wie muss ich den Paramter a<1 dort einführen??
Möglichkeit 3 sieht mathematisch sportlich aus, aber kommt für mich nicht in Frage :) Trotzdem Danke für diese vielfältigen Möglichkeiten!!
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank. Die Möglichkeit 1 klappt schon sehr gut. Ich
> komme auf die Form:
>
> [mm]f(x)=\bruch{\bruch{1}{a}}{a*x-\wurzel{(P*x)^{2}+4}}[/mm]
Ich würde da eindeutig P=a setzen, die ganze Gleichung noch mit -2 multiplizieren und dann 0<a<1 wählen, also z.B. [mm] a=\tfrac{1}{2}.
[/mm]
> Im zweifel werde ich diese Variante nehmen.
>
> Allerdings wollte ich noch gegen Möglichkeit 2 abwägen.
> Könnte mir gut vorstellen, dass der exponent einen etwas
> besseren verlauf ermöglicht.
> Also würde ich Möglichkeit 2 gerne weiter verfolgen.
>
> [mm]f(x)=\bruch{-2}{x-(\left|x\right|^{2*a}+4)^{\bruch{a}{2}}}[/mm]
> mit a<1
>
> bringt allerdings einen sehr chaotischen verlauf. Ich denke
> ich verstehe die Form noch nicht ganz richtig. Wie muss ich
> den Paramter a<1 dort einführen??
Das Problem ist, dass man den Parameter nicht einfach in die Gleichung einbauen kann, sondern eine ganz andere Funktionsdarstellung braucht, also z.B. so:
[mm] x(t)=t-\bruch{1}{t^3}, y(t)=-\bruch{1}{t^3}
[/mm]
Man kann nun zwar noch die Ableitung [mm] \tfrac{dy}{dx} [/mm] bestimmen, aber - soweit ich sehe - die Funktion y=f(x) nicht mehr explizit bestimmen.
> Möglichkeit 3 sieht mathematisch sportlich aus, aber kommt
> für mich nicht in Frage :) Trotzdem Danke für diese
> vielfältigen Möglichkeiten!!
Das ist sportlich. Ich würde die Möglichkeit daher auch nicht nehmen. Zu aufwändig.
Grüße
reverend
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Vielen Dank nochmal. Gibt es hier irgedwie einen Danke Button oder sowas? :)
Wenn man die Parameterdarstellung nehmen würde, würde das also so funktionieren: man setzt zuerst den parameter a in die gleichungen von x(t) und y(t) ein, anschließend bestimmt man über den bekannten wert von x den Wert von t. über den Wert von t kann man dann y bestimmen? hab ich das richtig verstanden? Wie sähe denn dann die Form von meiner gewollten Funktion aus, die von dir vorgeschlagene befindet sich ja durchweg im negativen bereich. ich habe sie mal geplottet.
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Hallo fachmeister,
> Vielen Dank nochmal. Gibt es hier irgedwie einen Danke
> Button oder sowas? :)
Nein, gibts nicht. Aber soweit ich weiß, verstehen alle hier Deutsch. Gern geschehen soweit; ich bastle gern Funktionen.
> Wenn man die Parameterdarstellung nehmen würde, würde das
> also so funktionieren: man setzt zuerst den parameter a in
> die gleichungen von x(t) und y(t) ein,
a? Nur wenn Du den Exponenten noch parametrisieren willst. Wie gesagt, müssen dann im Nenner Betragsstriche stehen, also [mm] |t|^a.
[/mm]
> anschließend
> bestimmt man über den bekannten wert von x den Wert von t.
Das ist keine gute Idee. Im allgemeinen wird das auch nur numerisch möglich sein.
Nein, man lässt den Parameter t laufen.
Ich hätte noch erwähnen müssen, dass die Parametrisierung in der vorliegenden Form nur für [mm] t\in\IR, [/mm] t<0 funktioniert.
Also wäre korrekt gewesen:
[mm]f: [mm] \IR^-\to\IR,\ t\in\IR,\ [/mm] t<0,\ [mm] a\in\IR,\ [/mm] a>0
[mm] x(t)=t\blue{+}\bruch{1}{|t|^a}
[/mm]
[mm] y(t)=\blue{(+)}\bruch{1}{|t|^a}
[/mm]
Das "+" wird durch die Einführung des Betrages nötig. Für a=1 und ohne Betrag (und daher dann mit "-") ergibt sich die Parameterform der von dir ursprünglich gesuchten Hyperbel mit den vorgegebenen Asymptoten x=0 und y=x.
> über den Wert von t kann man dann y bestimmen? hab ich das
> richtig verstanden?
Ja, aber das gilt eben genauso für x. Das nennt man eine parametrisierte Kurve.
> Wie sähe denn dann die Form von meiner
> gewollten Funktion aus, die von dir vorgeschlagene befindet
> sich ja durchweg im negativen bereich. ich habe sie mal
> geplottet.
Hm. Ich habe kein vernünftiges Plotprogramm, und die online-Angebote, die ich finde, scheinen keine parametrisierten Kurven zu können. Oder kennst Du eine Seite, wo es das gibt?
Du steckst offenbar viel Arbeit in diese Funktionsmodellierung. Soll das eine Steuerung von irgendetwas werden? Da bräuchte man ja u.U. eine den Vorgaben entsprechende Kurve, die trotzdem noch eine oder mehrere Stellgrößen hat.
Übrigens hat auch die obige Variante 2 mit verändertem Exponenten zusätzlich die Möglichkeit der Veränderungen durch Variante 1, also Koordinatendehnung- oder stauchung.
Grüße
reverend
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