Bestimmen von Kern und Bild < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Do 05.02.2009 | | Autor: | Jenny119 |
| Aufgabe | Bezeichne S(2x2) die Menge der symmetrischen 2 X 2 - Matrizen und sei F:S(2x2) in R, F [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] = 2b, eine lineare Abbildung.
a) Welche Zahl liegt in Bild (f)?
i) 0, ii) -2, iii) [mm] 1/\wurzel]{2}
[/mm]
b) Welche der folgenden Matrizen liegt im Kern (F)?
i) [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -1 & 3 }
[/mm]
ii) [mm] \pmat{ a & b \\ 2 & 0}
[/mm]
iii) [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }
[/mm]
c) Man beschreibe Kern (F) und Bild (F) durch jeweils eine Angabe der Basis |
Hallo,
Ich habe eine Aufgabe zu lösen, bei der ich nicht wirkli durchblicke, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
bei Punkt b müsste ich doch die Matrix null setzten und würde die Gestalt meiner Matrix bekommen für jene die im Kern liegen oder? jeoch lässt sich das hier nicht so einfach durchführen....oder ist es hier schon getan alle matrizen zu nehmen welche gleiches aussehen wie vorgeben haben, das wären dann nämlich ii und iii...
bei Punkt b müsste ich um mein Bild zu bestimmen doch Gauß anwenden und meine Bilder sind dann jene Zeilen die nicht zu null werden,... müsste ich dann einfach überprüfen ob die angeben zahlen in den bildern enthalten sind?
Ich hoffe jemand kann mir bitte wieterhelfen!!
glg dankeschön
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bezeichne S(2x2) die Menge der symmetrischen 2 X 2 -
> Matrizen und sei F:S(2x2) in R, F [mm]\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm] =
> 2b, eine lineare Abbildung.
> a) Welche Zahl liegt in Bild (f)?
> i) 0, ii) -2, iii) [mm]1/\wurzel]{2}[/mm]
> b) Welche der folgenden Matrizen liegt im Kern (F)?
> i) [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & 3 }[/mm]
> ii) [mm]\pmat{ a & b \\ 2 & 0}[/mm]
>
> iii) [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm]
>
> c) Man beschreibe Kern (F) und Bild (F) durch jeweils eine
> Angabe der Basis
> Hallo,
>
> Ich habe eine Aufgabe zu lösen, bei der ich nicht wirkli
> durchblicke, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
> bei Punkt b müsste ich doch die Matrix null setzten
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schau Dir zunächst in Deinen Unterlagen an, wie der Kern einer linearen Abbildung definiert ist, daraus ergibt sich das weitere Vorgehen:
der Kern umfaßt "all das, was auf die Null abgebildet wird".
Deine Abbildung F bildet aus dem S(2x2) in den [mm] \IR [/mm] ab.
Im Kern liegen also diejenigen Elemente von S(2x2), welche auf 0 abgebildet werde.
Du mußt also einfach F auf die gegebenen Matrizen anwenden und nachschauen, ob 0 herauskommt.
b)ii) hat hier noch eine Besonderheit: diese Matrix ist ja nur unter gewissen Umständen in S(2,2) enthalten. Für welches b?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Do 05.02.2009 | | Autor: | Jenny119 |
| Aufgabe | Kurze Richtigstelleung der Angabe habe mich vertippt:
die zweite Matrix von B lautet [mm] \pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 } [/mm] |
erstmals danke, danke für deine schnelle antwort 
>
> Schau Dir zunächst in Deinen Unterlagen an, wie der Kern
> einer linearen Abbildung definiert ist, daraus ergibt sich
> das weitere Vorgehen:
>
> der Kern umfaßt "all das, was auf die Null abgebildet
> wird".
>
> Deine Abbildung F bildet aus dem S(2x2) in den [mm]\IR[/mm] ab.
>
> Im Kern liegen also diejenigen Elemente von S(2x2), welche
> auf 0 abgebildet werde.
>
> Du mußt also einfach F auf die gegebenen Matrizen anwenden
> und nachschauen, ob 0 herauskommt.
Okay dass würde heißen nur meine Matrix [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 } [/mm] liegt im Kern oder habe ich da noch immer was falsch verstanden??
>
> b)ii) hat hier noch eine Besonderheit: diese Matrix ist ja
> nur unter gewissen Umständen in S(2,2) enthalten. Für
> welches b?
Tippfehler hab ich ausgebessert.
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> > Deine Abbildung F bildet aus dem S(2x2) in den [mm]\IR[/mm] ab.
> >
> > Im Kern liegen also diejenigen Elemente von S(2x2), welche
> > auf 0 abgebildet werde.
> >
> > Du mußt also einfach F auf die gegebenen Matrizen anwenden
> > und nachschauen, ob 0 herauskommt.
>
> Okay dass würde heißen nur meine Matrix [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm]
> liegt im Kern
Hallo,
haargenau!
Gruß v. Angela
oder habe ich da noch immer was falsch
> verstanden??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Do 05.02.2009 | | Autor: | Jenny119 |
> Hallo,
>
> haargenau!
>
> Gruß v. Angela
>
Super da nke
ich hätte jetzt noch eine Frage zum bestimmen ob die gegeben zahlen im Bild liegen. Hätte ich Vektoren gegeben müsste ich doch einfach schreiben
[mm] \pmat{ a+b\\ b+c } [/mm] = dem zu untersuchenden vektor
und dann die variablen berechnen und vergleichen ... aber wie mach ich das mit nur einer Zahl?
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> > Hallo,
> >
> > haargenau!
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> Super da nke
> ich hätte jetzt noch eine Frage zum bestimmen ob die
> gegeben zahlen im Bild liegen. Hätte ich Vektoren gegeben
> müsste ich doch einfach schreiben
> [mm]\pmat{ a+b\\ b+c }[/mm] = dem zu untersuchenden vektor
>
> und dann die variablen berechnen und vergleichen ... aber
> wie mach ich das mit nur einer Zahl?
Hallo,
Deine Funktion ist doch so definiert: F $ [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] $ := 2b
Du willst nun z.B. wissen, ob der Wert 5 angenommen wird.
Dafür mußt Du eine Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] finden, die auf die 5 abgebildet wird.
Es muß also sein
5=F [mm] \pmat{ a & b \\ b & c }= [/mm] 2b ==> b=2.5.
Na, und irgendeine matrix, für die b=2.5 ist, wird Dir doch einfallen, z.B. [mm] \pmat{ 1 & 2.5 \\ 2.5 & 2 }.
[/mm]
Dann rechnest Du vor:
[mm] F(\pmat{ 1 & 2.5 \\ 2.5 & 2 })=2*2.5=5, [/mm] also liegt die 5 im Bild der Abbildung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Do 05.02.2009 | | Autor: | Jenny119 |
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> Hallo,
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> Deine Funktion ist doch so definiert: F [mm]\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm]
> := 2b
>
> Du willst nun z.B. wissen, ob der Wert 5 angenommen wird.
>
> Dafür mußt Du eine Matrix [mm]\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm] finden,
> die auf die 5 abgebildet wird.
>
> Es muß also sein
>
> 5=F [mm]\pmat{ a & b \\ b & c }=[/mm] 2b ==> b=2.5.
>
> Na, und irgendeine matrix, für die b=2.5 ist, wird Dir doch
> einfallen, z.B. [mm]\pmat{ 1 & 2.5 \\ 2.5 & 2 }.[/mm]
>
> Dann rechnest Du vor:
>
> [mm]F(\pmat{ 1 & 2.5 \\ 2.5 & 2 })=2*2.5=5,[/mm] also liegt die 5 im
> Bild der Abbildung.
>
> Gruß v. Angela
OK; danke für die Erklärung, hab ich jetzt für meine Werte durchgeführt, und bei mir liegen jetzt der erste und letzte im kern, der zweite mit -2 nicht.
Könntest du mir vielleicht beim letzten Beispiel auch noch helfen? ich wär dir sehr sehr dankbar.
>
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> OK; danke für die Erklärung, hab ich jetzt für meine
> Werte durchgeführt, und bei mir liegen jetzt der erste und
> letzte im kern, der zweite mit -2 nicht.
Hallo,
warum denn nicht? Könnte es sein, daß Du beim Posten der Aufgabenstellung Informationen verschwiegen hast?
Weil: wenn das Matrizen über [mm] \IR [/mm] sind, sehe ich kein Problem. Oder geht es um [mm] \IZ? [/mm]
>
> Könntest du mir vielleicht beim letzten Beispiel auch noch
> helfen? ich wär dir sehr sehr dankbar.
Überlege Dir erstmal, wie die Matrizen aussehen, die auf die Null abgebildet werden.
Bevor wir übers Bild sprechen, muß die genaue Aufgabenstellung klar sein.
Gruß v. Angela
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Do 05.02.2009 | | Autor: | Jenny119 |
> Hallo,
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> warum denn nicht? Könnte es sein, daß Du beim Posten der
> Aufgabenstellung Informationen verschwiegen hast?
>
> Weil: wenn das Matrizen über [mm]\IR[/mm] sind, sehe ich kein
> Problem. Oder geht es um [mm]\IZ?[/mm]
>
ja die angabe stimmt, i hab noch einmal nachgeschaut und natürlich geht minus 2 auch, ich hatte da einen denkfehler,...
>
> Überlege Dir erstmal, wie die Matrizen aussehen, die auf
> die Null abgebildet werden.
also wenn ich versuche die matrix null zu setzen habe ich meine 2 gleichungen:
a * x1 + b*x2 = 0
b* x1 + c*x2 = 0
jedoch kann ich hier nicht viel heraußsehen, was mir helfen könnte oder reicht es zu sagen dass a und c beliebige zahlen sein können und die b elemente an der diagonalen müssen gleich sein?!?! aber das kann doch auch nciht stimmten.
> Bevor wir übers Bild sprechen, muß die genaue
> Aufgabenstellung klar sein.
>
> Gruß v. Angela
> > >
glg jenny
>
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> > Hallo,
> >
> > warum denn nicht? Könnte es sein, daß Du beim Posten der
> > Aufgabenstellung Informationen verschwiegen hast?
> >
> > Weil: wenn das Matrizen über [mm]\IR[/mm] sind, sehe ich kein
> > Problem. Oder geht es um [mm]\IZ?[/mm]
> >
> ja die angabe stimmt, i hab noch einmal nachgeschaut und
> natürlich geht minus 2 auch, ich hatte da einen
> denkfehler,...
> >
> > Überlege Dir erstmal, wie die Matrizen aussehen, die auf
> > die Null abgebildet werden.
>
> also wenn ich versuche die matrix null zu setzen habe ich
> meine 2 gleichungen:
>
> a * x1 + b*x2 = 0
> b* x1 + c*x2 = 0
>
> jedoch kann ich hier nicht viel heraußsehen, was mir helfen
> könnte oder reicht es zu sagen dass a und c beliebige
> zahlen sein können und die b elemente an der diagonalen
> müssen gleich sein?!?! aber das kann doch auch nciht
> stimmten.
Doch, genauso ist's.
Im Kern liegen Matrizen der Gestalt [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & c }=a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] c*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 },
[/mm]
und damit erzeugen [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] zusammen den Kern, und da sie linear unabhängig sind, bilden sie gemeinsam eine Basis des Kerns.
Nun das Bild: gibt es irgendeine Zahl, auf welche keine der Matrizen abgebildet wird? Was ist also das Bild? Und was ist eine Basis dieses Raumes?
Gruß v. Angela
>
> > Bevor wir übers Bild sprechen, muß die genaue
> > Aufgabenstellung klar sein.
> >
> > Gruß v. Angela
> > > >
> glg jenny
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 05.02.2009 | | Autor: | Jenny119 |
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> Doch, genauso ist's.
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> Im Kern liegen Matrizen der Gestalt [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & c }=a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> + [mm]c*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 },[/mm]
>
> und damit erzeugen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> zusammen den Kern, und da sie linear unabhängig sind,
> bilden sie gemeinsam eine Basis des Kerns.
okay gut danke.
> Nun das Bild: gibt es irgendeine Zahl, auf welche keine der
> Matrizen abgebildet wird? Was ist also das Bild? Und was
> ist eine Basis dieses Raumes?
>
Das Bild sind doch nun alle die nicht auf 0 abgebildet sind oder?
wie nur eine Zahl?
Es tut mir Leid aber ich glaube ich stehe gerade auf der Leitung.
> Gruß v. Angela
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> >
> > > Bevor wir übers Bild sprechen, muß die genaue
> > > Aufgabenstellung klar sein.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > > > >
> > glg jenny
> > >
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 05.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Bild liegt docj in [mm] \IR, [/mm] d.h. du must die Zahlen angeben, die man erreichen kann!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Do 05.02.2009 | | Autor: | Jenny119 |
> Hallo
> Das Bild liegt docj in [mm]\IR,[/mm] d.h. du must die Zahlen
> angeben, die man erreichen kann!
okay, noch mal bitte ganz langsam ,.. also ich habe zuvor zahlen geprüft ob sie im bild liegen. und jetzt muss ich einen allgemeinen Ausdruck finden für alle die im bild liegen??ß
sorry für meine blöden Fragen :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Es war doch [mm] F(\pmat{ a & b \\ b & c }) [/mm] = 2b
Es ist Bild(F) = { x [mm] \in \IR: [/mm] es ex. [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } \in [/mm] S(2x2) mit [mm] F(\pmat{ a & b \\ b & c }) [/mm] = x }
Damit ist klar: Bild(F) [mm] \subseteq \IR
[/mm]
Sei x [mm] \in \IR. [/mm] Setze A = [mm] \pmat{ 0 & \bruch{x}{2} \\ \bruch{x}{2} & 0 }
[/mm]
Dann ist A [mm] \in [/mm] S(2x2) und F(A) = x
Somit: Bild(F) = [mm] \IR [/mm] und eine Basis von Bild(F) ist z.B. {1}
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Do 05.02.2009 | | Autor: | Jenny119 |
Danke an alle für die Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Do 05.02.2009 | | Autor: | bernd23 |
> Danke an alle für die Hilfe
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