Bestimmen von Abbildungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi leute,
ich habe folgende aufgabe gekriegt:
Bestimme Abbildungsmatrix [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] mit phi(x) = 7 [mm] \vec{x}+(7,1,1) \vec{x} \vektor{3\\ 2\\1}
[/mm]
Ich komme nicht klar.
ich wollte
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=7 \vektor{x \\ y\\z}+(7,1,1)\vektor{x \\ y\\z}\vektor{3\\ 2\\1}
[/mm]
setzen und zusammenfassen und die Basis vektoren [mm] e_{1},e_{2},e_{3} [/mm] bestimmen, damit hätte ich die abbildungsmatrix. Jedoch weiß ich nicht was ich mit [mm] (7,1,1)\vektor{x \\ y\\z}\vektor{3\\ 2\\1} [/mm] anfangen soll. Ist (7,1,1) ein Vektor oder eine 3-Tupel oder eine 1x3 Matrix? Die Lösung der Abbildungsmatrix kenn ich schon, ich bäuchte eher ein Kochrezept oder den Weg dahin.
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Du solltest den Bildvektor anders benennen, z.B.
[mm]\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}[/mm]
Und in der Tat ist [mm]\begin{pmatrix} 7 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm] hier eine 1×3-Matrix. Du kannst daher das Produkt
[mm]\begin{pmatrix} 7 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
bilden. Es ist eine 1×1-Matrix, also ein Skalar, und entspricht im übrigen dem Standardskalarprodukt der Vektoren
[mm]\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
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Ich war iritiert, da (7,1,1) durch Kommas abgetrennt war.
Also rechne ich [mm] \pmat{ 7 & 1 &1 } \vec{x} [/mm] zu 7x + y + z
Dieses wiedrum multipliziere ich mit dem Vektor [mm] \vektor{3 \\ 2\\ 1}
[/mm]
zu [mm] \vektor{21x+3y+3z\\ 14x+2y+2z\\7x+y+z} [/mm] und addiere diesen Vektor mit [mm] \vektor{7x \\ 7y\\7z}
[/mm]
zu [mm] \vektor{28x+3y+3z\\ 14x+9y+2z\\7x+y+8z} [/mm]
die Abbildungsmatrix lautet nun
[mm] \pmat{ 28 & 3 & 3 \\ 14 & 9 & 3 \\ 7 & 2 & 8 }
[/mm]
Ist die Reihenfolge/Denkweise so richtig?
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So stimmt's (bis auf einen kleinen Schreibfehler in der Matrix).
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