Bestimmen einer Verteilung < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Mi 04.08.2010 | | Autor: | hagen85 |
| Aufgabe | Zufallsvariablen [mm] X_1, X_2 [/mm] sind stochastisch unabhängig und identisch Bernoulli-verteilt mit dem Bernoulli-Parameter p=0,5.
Mit der Bezeichnung
[mm] p_{3|12}(i|j,k)=P(X_3=i|X_1=j, X_2=k), [/mm] i,j,k [mm] \in [/mm] {0,1}
sind außerdem die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten gegeben:
[mm] p_{3|12}(0|0,0)=0,25; p_{3|12}(0|0,1)=0,5;p_{3|12}(0|1,0)=0,75; p_{3|12}(0|1,1)=0,5
[/mm]
[mm] p_{3|12}(1|0,0)=0,75; p_{3|12}(1|0,1)=0,5;p_{3|12}(1|1,0)=0,25; p_{3|12}(1|1,1)=0,5
[/mm]
a)Bestimme die Verteilung von [mm] X_3
[/mm]
b)Ermittle die bedingten Wkt. [mm] P(X_2=i|X_1=j) [/mm] für i,j [mm] \in [/mm] {0,1} |
Hallo,
eigentlich ist das Ganze bestimmt gar nicht schwer, ich muss ja jetzt erstmal die Wkt. ausrechnen, dass [mm] X_3=1 [/mm] ist? Das wäre dann mein Bernoulli-Parameter. Aber wie stell ich das an?
Freu mich über jede Hilfe.
VG Hagen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mi 04.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Zufallsvariablen [mm]X_1, X_2[/mm] sind stochastisch unabhängig und
> identisch Bernoulli-verteilt mit dem Bernoulli-Parameter
> p=0,5.
> Mit der Bezeichnung
> [mm]p_{3|12}(i|j,k)=P(X_3=i|X_1=j, X_2=k),[/mm] i,j,k [mm]\in[/mm] {0,1}
> sind außerdem die folgenden bedingten
> Wahrscheinlichkeiten gegeben:
>
> [mm]p_{3|12}(0|0,0)=0,25; p_{3|12}(0|0,1)=0,5;p_{3|12}(0|1,0)=0,75; p_{3|12}(0|1,1)=0,5[/mm]
>
> [mm]p_{3|12}(1|0,0)=0,75; p_{3|12}(1|0,1)=0,5;p_{3|12}(1|1,0)=0,25; p_{3|12}(1|1,1)=0,5[/mm]
>
> a)Bestimme die Verteilung von [mm]X_3[/mm]
> b)Ermittle die bedingten Wkt. [mm]P(X_2=i|X_1=j)[/mm] für i,j [mm]\in[/mm]
> {0,1}
> Hallo,
>
> eigentlich ist das Ganze bestimmt gar nicht schwer, ich
> muss ja jetzt erstmal die Wkt. ausrechnen, dass [mm]X_3=1[/mm] ist?
> Das wäre dann mein Bernoulli-Parameter. Aber wie stell ich
> das an?
>
> Freu mich über jede Hilfe.
>
> VG Hagen
Du hast Ereignisse [mm] A_i, B_i,C_i [/mm] jeweils mit i=1,2 und die Information
i) Die Werte von [mm] P(B_i) [/mm] und [mm] P(C_i) [/mm]
ii) [mm] P(B_j\cap C_k)=P(B_j|C_k)*P(C_k)=P(B_j)P(C_k)
[/mm]
iii) [mm] \bigcup_{j,k}(B_j\cap C_k)=\Omega
[/mm]
iv) Die Werte von [mm] P(A_i|B_j\cap C_k)
[/mm]
Und Du weißt
[mm] P(A_i)=P(A_i\cap\Omega)=P(A_i\cap\bigcup_{j,k}B_j\cap C_k)=\summe_{j,k}P(A_i\cap(B_j\cap C_k))=\summe_{j,k} P(A_i|B_j\cap C_k)P(B_j\cap C_k)
[/mm]
Nun nur noch einsetzen...
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mi 04.08.2010 | | Autor: | hagen85 |
Hallo,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Im Prinzip ist [mm] P(A_i\cap\Omega) [/mm] ja nicht mehr als die relative Häufigkeit oder? Dann brauch ich doch die ganzen bedingten Wahrscheinlichkeiten gar nicht?
VG Hagen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mi 04.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort. Im Prinzip ist
> [mm]P(A_i\cap\Omega)[/mm] ja nicht mehr als die relative Häufigkeit
> oder? Dann brauch ich doch die ganzen bedingten
> Wahrscheinlichkeiten gar nicht?
Wie?! Was?! Relative Häufigkeiten? Wir haben es hier nicht mit Stichproben bzw. Realisierungen von ZVn zu tun, sondern mit den ZVn selbst.
[mm] \Omega [/mm] soll das sichere Ereignis bezeichnen. Wenn [mm] \bigcup D_i=\Omega [/mm] eine disjunkte Zerlegung ist gilt (ich glaube das ist der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
[mm] P(A)=\summe P(A|D_i)*P(D_i)
[/mm]
und die Terme in der Summe sind in Deiner Aufgabe gegeben, so dass Du die gesuchten P(A) ausrechnen kannst.
z.B. sei [mm] A=\{X_3=1\} [/mm] und [mm] B_j=\{X_1=j\} [/mm] und [mm] C_k=\{X_2=k\} [/mm] dann gilt
[mm] P(\{X_3=1\})=\summe_{j,k} P(\{X_3=1\}|\{X_1=j\}\cap\{X_2=k\})*P(\{X_1=j\}\cap\{X_2=k\})
[/mm]
[mm] =\summe_{j,k} P(\{X_3=1\}|\{X_1=j\}\cap\{X_2=k\})*P(\{X_1=j\})*P(\{X_2=k\}) [/mm]
also
[mm] p_{3}(1)=\summe_{j,k=1}^2p_{3|12}(1|j,k)*p_1(j)*p_2(k)
[/mm]
wenn [mm] p_i(j)=P(\{X_i=j\}) [/mm] sein soll.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 04.08.2010 | | Autor: | hagen85 |
Alles klar, das war ein wenig blöd von mir. Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Mit dem Satz der totalen Wkt. ergibt sich: 0,75*0,25+0,5*0,25+0,25*0,25+0,5*0,25=0,5
Wegen der Unabhängigkeit kann ich dann auch leicht [mm] P(X_2=i|X_1=j) [/mm] berechnen: [mm] P(X_2=i)*P(X_1=j)/P(X_1=j)=P(X_2=i)=0,5 [/mm] .
Eine letzte Frage(ich schwöre!):
Hätte ich z.B. [mm] P(X_3=i|X_2=k), [/mm] wäre ja das Problem, dass ich nicht von Unabhängigkeit ausgehen kann und damit berechnen muss:
[mm] \bruch{P(X_3=i \cap X_2=k)}{0,5}
[/mm]
Von der Überlegung her, müsste dort wieder 0,5 rauskommen. Die Wkt. das [mm] X_3 [/mm] einen bestimmten Wert annimmt ist ja, wie bei [mm] X_2 [/mm] auch, 0,5. Damit wäre 0,25/0,5=0,5. Aber wie löst man das mathematisch korrekt?
VG Hagen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mi 04.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Alles klar, das war ein wenig blöd von mir. Vielen Dank
> für die ausführliche Antwort. Mit dem Satz der totalen
> Wkt. ergibt sich:
> 0,75*0,25+0,5*0,25+0,25*0,25+0,5*0,25=0,5
>
> Wegen der Unabhängigkeit kann ich dann auch leicht
> [mm]P(X_2=i|X_1=j)[/mm] berechnen:
> [mm]P(X_2=i)*P(X_1=j)/P(X_1=j)=P(X_2=i)=0,5[/mm] .
>
> Eine letzte Frage(ich schwöre!):
> Hätte ich z.B. [mm]P(X_3=i|X_2=k),[/mm] wäre ja das Problem,
> dass ich nicht von Unabhängigkeit ausgehen kann und damit
> berechnen muss:
> [mm]\bruch{P(X_3=i \cap X_2=k)}{0,5}[/mm]
> Von der Überlegung
> her, müsste dort wieder 0,5 rauskommen. Die Wkt. das [mm]X_3[/mm]
> einen bestimmten Wert annimmt ist ja, wie bei [mm]X_2[/mm] auch,
> 0,5. Damit wäre 0,25/0,5=0,5. Aber wie löst man das
> mathematisch korrekt?
>
Wenn Du alle [mm] P(X_3=i|X_2=j) [/mm] und alle [mm] P(X_2=k) [/mm] hast, gilt wieder
[mm] P(X_3=i)=\summe_{j}P(X_3=i|X_2=j)*P(X_2=j)
[/mm]
Veranschauliche Dir das mit einem Baumdiagramm:
Wenn alle Wkt. für die Knoten j hast, die den Ausgang von [mm] X_2 [/mm] markieren, und von dort die "Übergangswahrscheinlichkeiten" für die Knoten (j,i), die den Ausgang [mm] X_3=i [/mm] unter der Bedingung dass [mm] X_2=j [/mm] ist, markieren, dann summierst Du ja auch über alle Pfade, die zu [mm] X_3=i [/mm] führen, alles zu obiger Summe zusammen.
Entscheiden ist, dass jede Wkt. für den Ausgang von [mm] X_2 [/mm] gegeben ist auch alle bedingten Wahrscheinlichkeiten von [mm] X_3=i [/mm] bzüglich [mm] X_2, [/mm] wenn man damit [mm] P(X_3=i) [/mm] bestimmen will.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Do 05.08.2010 | | Autor: | hagen85 |
Vielen Dank für die Hilfe .
VG Hagen
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