Bestimmen einer Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine möglichst einfache gebrochenrationale Funktion f mit folgenden Eigenschaften:
a) f (1)= 0
b) bei x= -2 besitzt die Funktion eine Polstelle mit Vzw und bei x= 3 eine hebbare Definitionslücke
c) die x-Achse ist Asymptote |
Hallöchen, wieder einmal brauch ich eure Hilfe... Ich hab versucht, mal Mathe überhaupt zu lernen und bin darauf gestoßen.
zu a) Jetzt bin ich soweit, dass ich weiß, dass bei x=1 das y=0 sein muss. Ist das so richtig?
zu b) damit kann ich nicht viel anfangen. Wie "übersetze" ich die Wörter in Mathe? Also wie komme ich mit dieser Aussage weiter?
zu c) die As: y=0, also bei der Polynomdivision muss 0 rauskommen.
Würde mich über Hilfe wirklich sehr freuen! 
lg Pure
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Bestimmen Sie eine möglichst einfache gebrochenrationale
> Funktion f mit folgenden Eigenschaften:
> a) f (1)= 0
> b) bei x= -2 besitzt die Funktion eine Polstelle mit Vzw
> und bei x= 3 eine hebbare Definitionslücke
> c) die x-Achse ist Asymptote
> Hallöchen, wieder einmal brauch ich eure Hilfe... Ich hab
> versucht, mal Mathe überhaupt zu lernen und bin darauf
> gestoßen.
Hallo Pure
> zu a) Jetzt bin ich soweit, dass ich weiß, dass bei x=1 das
> y=0 sein muss. Ist das so richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber es geht ja darum, dass du eine (gebrochenrationale) Funktionsgleichung aufstellen musst, die eben genau diese Bedeutung erfüllt.
Wir haben den Punkt P(1|0). Was für eine Besonderheit hat dieser? Ganz klar, dass es sich um eine Nullstelle handelt.
Daher lautet eine gebrochenrationale Funktion
f(x) = [mm] \bruch{(x-1)}{x^2}
[/mm]
Im Zähler steht jetzt (x-1) -> Wenn du den Zähler gleich null setzt, bekommst du die Nullstellen der Funktion heraus. (Ist dir auch klar, warum das so ist?)
> zu b) damit kann ich nicht viel anfangen. Wie "übersetze"
> ich die Wörter in Mathe? Also wie komme ich mit dieser
> Aussage weiter?
Wir haben die Bedingung "bei x= -2 besitzt die Funktion eine Polstelle mit Vzw". Weißt du, was eine Polstelle ist? Weißt du, was eine Polstelle mit VZW bedeutet? Ich möchte, ohne konkretere Frage, mal nur etwas ungenauer darauf antworten:
Wenn du an der Polgerade die Funktions (achsenmaessig) spiegeln kannst, liegt kein Vorzeichenwechsel vor. Das erkennt man z. B. an der Zeichnung Bsp.: [mm] \bruch{1}{(x-2)^2} [/mm] wäre so eine Funktion ohne VZW mit Polstelle bei x=2
Auf unsere Gleichung übertragen heißt das, dass wir zumindest im Nenner dieses Quadrat vermeiden sollten.
f(x)= [mm] \bruch{x^2}{(x+2)}
[/mm]
So lautet unsere Funktion, die Bedingung für die Polstelle steht im Nenner (die Definition von Polstelle kennst du?)
Bei "x= 3 eine hebbare Definitionslücke"
Na, das schaffst du alleine, mit dem Hinweis, dass die Funktion im Zähler eine Nullstelle hat und eine Nullstelle im Nenner. (Also Aufgabe a und b kombiniert)
> zu c) die As: y=0, also bei der Polynomdivision muss 0
> rauskommen.
Naja, nicht zwingend. Sollte ich nach der Polynomdivision das ERgebnis
y= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] erhalten, so wäre die Asymptote auch die waagerechte X-Achse.
Du kannst dir merken, dass der Polynomgrad (der Exponent) im Nenner (im Bruch der untere Teil) größer ist als der im Zähler. z.B.
f(x)= [mm] \bruch{x}{x^4}
[/mm]
oder um es ganz kompliziert aussehen zu lassen
f(x)= [mm] \bruch{x^2+2x+32}{14x^5-32x^3+217x-54}
[/mm]
> Würde mich über Hilfe wirklich sehr freuen!
>
> lg Pure
Rückfragen jeder Zeit, ich bin mir da jtezt nämlich nicht so sicher, ob du auch wirklich die Definitionen von z. B. Polstellen mit VZW verstanden hast.
LG Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Pure |
">Wenn du den Zähler gleich null setzt, bekommst du die Nullstellen der Funktion heraus."
Ist das generell bei jeder Funktion so oder nur bei der jetzt?
Also ich weiß, was eine Polstelle mit Vzw ist.
">Wenn du an der Polgerade die Funktions (achsenmaessig) spiegeln kannst, liegt kein Vorzeichenwechsel vor...."
Nur von der Polgeraden weiß ich, dass der Nenner null werden muss, aber ich hab sonst eigentlich keine Ahnung, was eine Polgerade ist. Kannst Du mir das vielleicht bitte auch noch erklären?
Vielleicht klingt die Frage jetzt ein bisschen dumm, aber ich hab nie ganz verstanden, wann eine Definitionslücke hebbar ist bzw eben jetzt, was es heißt, wenn sie hebbar ist.
Wäre Dir wirklich dankbar für eine neue Antwort!
lg, Pure
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pure!
> ">Wenn du den Zähler gleich null setzt, bekommst du die
> Nullstellen der Funktion heraus."
>
> Ist das generell bei jeder Funktion so oder nur bei der
> jetzt?
Das gilt immer so! Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Und an diesen Stellen gilt nun mal: $f(x) \ = \ 0$ .
> Nur von der Polgeraden weiß ich, dass der Nenner null
> werden muss, aber ich hab sonst eigentlich keine Ahnung,
> was eine Polgerade ist. Kannst Du mir das vielleicht bitte
> auch noch erklären?
Die Polgerade ist eine senkrechte Gerade exakt an der Stelle der Polstelle. Zum Beispiel liegt für die Funktion $y \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_p [/mm] \ = \ 0$ eine Polstelle vor. Und die entsprechende Polgerade lautet dann auch: [mm] $x_p [/mm] \ = \ 0$ .
> Vielleicht klingt die Frage jetzt ein bisschen dumm, aber
> ich hab nie ganz verstanden, wann eine Definitionslücke
> hebbar ist bzw eben jetzt, was es heißt, wenn sie hebbar
> ist.
Wenn bei einer gebrochen-rationalen Funktion ein x-Wert [mm] $x_s$ [/mm] sowohl Nullstelle des Nenners als auch des Zählers ist, so dass man den entsprechenden Term [mm] $\left(x-x_s\right)$ [/mm] herauskürzen kann, spricht man bei [mm] $x_s$ [/mm] von einer hebbaren Definitionslücke, da man hier theoretisch einen festen Funktionswert angeben könnte (nach dem Kürzen darf [mm] $x_s$ [/mm] dann keine Nenner-Nullstelle mehr sein).
Gruß
Loddar
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