Bestimme den Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:56 Di 23.01.2007 | | Autor: | MacChevap |
| Aufgabe | Bestimmen sie folgende Grenzwerte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{3}{n²})^{n} [/mm] |
Hallo ihr !
vorgeschlagen wird die Bernoulli-Ungleichung
ich hab's aber so zerlegt,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[(1-\bruch{\wurzel{3}}{n})^{n} (1+\bruch{\wurzel{3}}{n})^{n}]
[/mm]
und folglich => [mm] e^{-{\wurzel{3}}}* e^{{\wurzel{3}}}=e^{0}=1 [/mm] (welches, dem korrekten Ergebniss entspricht) ist das zulässig so ?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{3}{n²})^{n} [/mm] <-was wäre anders bei dieser Variante ?(Darauf wird hingewiesen)
mit meiner Variante wär's ja genau dasselbe, 1.bin.Formel.(statt oben mit der 3.ten) also Grenzwert
[mm] e^{2*\wurzel{3}} [/mm] hm..das ganze sollte aber auch Gegen 1 gehen..
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Hallo.
Also nach Bernoulli
[mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx
also in dem Fall
[mm] 1-\bruch{3}{n²})^{n} \ge 1-n*\br{3}{n^2} [/mm] = [mm] 1-\br{3}{n} \rightarrow [/mm] 1
[mm] 1+\bruch{3}{n²})^{n} \ge 1+n*\br{3}{n^2} [/mm] = [mm] 1+\br{3}{n} \rightarrow [/mm] 1
beide Konvergieren gegen 1 da [mm] \br{3}{n} [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] eine Nullfolge ist
Tschüß sagt Röby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Di 23.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo M.C.!
> ich hab's aber so zerlegt, [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[(1-\bruch{\wurzel{3}}{n})^{n} (1+\bruch{\wurzel{3}}{n})^{n}][/mm]
>
> und folglich => [mm]e^{-{\wurzel{3}}}* e^{{\wurzel{3}}}=e^{0}=1[/mm]
Wenn ihr bereits die allgemeine Form [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{a}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(a) [/mm] \ = \ [mm] e^a$ [/mm] bewiesen habt und anwenden dürft, ist dieser Weg absolut zulässig und korrekt.
Gruß
Loddar
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