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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 28.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | a) $ [mm] e^{z}-e [/mm] = 0$
b) $( z + i )( [mm] z^2 [/mm] + i ) = 0$ |
Das müsste doch sein:
a)
$ [mm] e^{z}= [/mm] e$ $\ | ln $
$\ |z|=1$
[mm] $z=\pm [/mm] 1$
oder?
bei der b) hänge ich fest:
b)
$ [mm] z^3+z^2i+zi+i^2= [/mm] 0$
$ [mm] z^3+z^2i+zi-1= [/mm] 0$
$ [mm] z^3+z^2i+zi= [/mm] 1$
$ [mm] z(z^2+zi+i)= [/mm] 1$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 So 28.06.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
bei der zweiten Gleichung genügt es doch, jede Klammer für sich zu Null zu setzen, dann ist das Produkt auch Null und die Geichung erfüllt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 28.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok,
das hieße also $\ z=-i$ und/oder [mm] $z=\wurzel{-i}$ [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 So 28.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Ok,
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> das hieße also [mm]\ z=-i[/mm] und/oder [mm]z=\wurzel{-i}[/mm] oder? ,
Hallo,
z=-i ist tatsächlich die erste Lösung. Das zweite ist zu formal. Du findest die beiden Lösungen für [mm] z^2=-i [/mm] mit der Formel von Moivre.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 28.06.2009 | | Autor: | n0000b |
[mm] $z^2=-i$
[/mm]
[mm] $z=\wurzel{-i}$
[/mm]
[mm] $z_{0,1}=\wurzel{1}\left[cos(\bruch{270°+k*360°}{2})+i*sin(\bruch{270°+k*360°}{2})\right]$
[/mm]
[mm] $z_{0}=\wurzel{1}\left[cos(135°)+i*sin(135°)\right]$
[/mm]
[mm] $z_{0}=-\wurzel{2}+i\wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $z_{1}=\wurzel{1}\left[cos(315°)+i*sin(315°)\right]$
[/mm]
[mm] $z_{1}=\wurzel{2}-i\wurzel{2}$
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 28.06.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]z^2=-i[/mm]
>
> [mm]z=\wurzel{-i}[/mm]
>
> [mm]z_{0,1}=\wurzel{1}\left[cos(\bruch{270°+k*360°}{2})+i*sin(\bruch{270°+k*360°}{2})\right][/mm]
>
> [mm]z_{0}=\wurzel{1}\left[cos(135°)+i*sin(135°)\right][/mm]
>
> [mm]z_{0}=-\wurzel{2}+i\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]z_{1}=\wurzel{1}\left[cos(315°)+i*sin(315°)\right][/mm]
>
> [mm]z_{1}=\wurzel{2}-i\wurzel{2}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Hallo,
die Argumente (135° bzw 315°) stimmen. ei der Umsetzung in Real- und Imaginärteil hast du dich vertan (es ist jeweils NICHT [mm] \wurzel2, [/mm] sondern nur die Hälfte davon).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 28.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Jep Sry,
hast natürlich recht. Habe das eben schnell nebenbei getippt 
[mm] $z_{0}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}+i\bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
[mm] $z_{1}=\bruch{\wurzel{2}}{2}-i\bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
Vielen Dank.
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Hallo, im Prinzip korrekt, du kannst aber noch [mm] \wurzel{2} [/mm] kürzen, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 So 28.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo, im Prinzip korrekt, du kannst aber noch [mm]\wurzel{2}[/mm]
> kürzen, Steffi
Hallo,
wer schreibt hier Brüche mit irrationalen Nennern?
So etwas nennt man "verschlimmbesssern".
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Mo 29.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok,
das wäre dann halt jeweils: [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm]
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Hallo,
bei Teil 1 hast du nicht beachtet, dass die exp-Funktion [mm] $2\pi [/mm] i$-periodisch ist. Und in der Aufgabenstellung steht ja explizit, dass du alle $z$ angeben sollst, die die Gleichung erfüllen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 28.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Könntest du das bitte etwas genauer erläutern, ich wüsste jetzt nicht wie ich das Ausdrücken sollte.
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Ich wollte damit sagen, dass auch [mm] z=1+i*2\pi*k [/mm] eine Lösung ist, also z.B. [mm] z=1+10\pi*i [/mm] erfüllt die Gleichung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 28.06.2009 | | Autor: | abakus |
> a) [mm]e^{z}-e = 0[/mm]
>
Hallo,
hier solltest du die Exponentialform der komplexen Zahl [mm] e^z=e^{x+i*y} [/mm] betrachten.
Welchen Betrag und welches Argument besitzt dieser Term?
Wenn [mm] e^{z}=e [/mm] gelten muss, dann müssen Betrag und Argument mit den entsprechenden Werten von [mm] e=e^{1+i*0} [/mm] übereinstimmen.
Gruß Abakus
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