Best. Zusammenhangskomponente < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 16.11.2010 | | Autor: | Wolve |
| Aufgabe | Gegeben seien die Mengen A := [mm] \IR^{+} [/mm] und B := [mm] \{ t*e^{it} | t \in \IR^{+} \backslash \{0\} \}. [/mm] Bestimmen Sie (mit Hilfe einer
Skizze) die Zusammenhangskomponenten von C [mm] \backslash [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B). |
Schönen guten Tag,
Zusammen mit einigen Kommilitionen habe ich diese Aufgabe besprochen, jedoch kam es zu verschiedenen Lösungsideen, weswegen ich gerne meinen Lösungsvorschlag kontrollieren lassen würde.
Meine Kommilitonen meinten, dass B eine Ansammlung einzelner Kreise ist, ich jedoch meine, dass es in diesem Fall eine Spirale ist. Anbei meine "Skizze".
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Wäre wohl klüger gewesen meine Skizze zu scannen, dennoch bitte ich meine unschöne Skizze nicht zu verunglimpfen)
Somit würde A und B sich bei mir in allen 2 [mm] \pi [/mm] n auf der rechten Realteil-Halbachse schneiden. Jedoch habe ich Schwierigkeiten, dies in einem Ausdruck zu formulieren.
Meine ursprüngliche Idee war [mm] 2*\pi*n [/mm] < | [mm] t*e^{it} [/mm] | < [mm] 2*(n+1)*\pi [/mm] , jedoch kriege ich nun Zweifel. Die äußerst trivialen Beispiele mit dem Inhalt des Einheitskreises mit |z| < 1 waren nur mäßig hilfreich..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Di 16.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben seien die Mengen A := [mm]\IR^{+}[/mm] und B := [mm]\{ t*e^{it} | t \in \IR^{+} \backslash \{0\} \}.[/mm]
> Bestimmen Sie (mit Hilfe einer
> Skizze) die Zusammenhangskomponenten von C [mm]\backslash[/mm] (A
> [mm]\cup[/mm] B).
>
>
> Schönen guten Tag,
>
> Zusammen mit einigen Kommilitionen habe ich diese Aufgabe
> besprochen, jedoch kam es zu verschiedenen Lösungsideen,
> weswegen ich gerne meinen Lösungsvorschlag kontrollieren
> lassen würde.
>
> Meine Kommilitonen meinten, dass B eine Ansammlung
> einzelner Kreise ist, ich jedoch meine, dass es in diesem
> Fall eine Spirale ist. Anbei meine "Skizze".
Ja, es ist eine Spirale.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> (Wäre wohl klüger gewesen meine Skizze zu scannen,
> dennoch bitte ich meine unschöne Skizze nicht zu
> verunglimpfen)
>
> Somit würde A und B sich bei mir in allen 2 [mm]\pi[/mm] n auf der
> rechten Realteil-Halbachse schneiden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jedoch habe ich
> Schwierigkeiten, dies in einem Ausdruck zu formulieren.
> Meine ursprüngliche Idee war [mm]2*\pi*n[/mm] < | [mm]t*e^{it}[/mm] | <
> [mm]2*(n+1)*\pi[/mm] , jedoch kriege ich nun Zweifel. Die äußerst
Was genau soll das sein? Eine Beschreibung, wie die Zusammenhangskomponenten aussehen?
> trivialen Beispiele mit dem Inhalt des Einheitskreises mit
> |z| < 1 waren nur mäßig hilfreich..
In diesem Beispiel ist das auch alles andere als einfach, die Zusammenhangskomponente "einfach und schoen" zu beschreiben.
Ich wuerde so vorgehen.
Du kannst ja jede Zahl $z [mm] \in \IC$ [/mm] eindeutig schreiben als $z = r [mm] e^{i t}$ [/mm] mit $r [mm] \ge [/mm] 0$ und $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$.
[/mm]
Ist 0 bei euch eigentlich in [mm] $\IR^+$ [/mm] drinnen oder nicht? Ich tippe mal auf nein.
Also. Falls $r > 0$ ist, so muss $t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi)$ [/mm] sein, damit $z [mm] \not\in \IR^+$.
[/mm]
Weiterhin sollte $z$ nicht auf der Spirale liegen. Das ist aequivalent dazu, dass $r$ nicht kongruent zu $t$ ist modulo $2 [mm] \pi$.
[/mm]
Du kannst also [mm] $A_n [/mm] := [mm] \{ r e^{i t} \mid t \in (0, 2 \pi), \; r \ge 0, \; t - 2 \pi < r - 2 n \pi < t \}$, [/mm] $n [mm] \in \IN_{\ge 0}$ [/mm] setzen und aus diesen plus eventuell einzelnden weiteren Punkten die Zusammenhangskomponenten zusammensetzen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Vielen Dank Felix für die schnelle Antwort, hat mir sehr geholfen!
Leider wurde die Aufgabe doch rausgenommen, da einige Studenten zuviel nachgefragt haben, weil wir den Stoff wohl so wie er gefragt war noch nicht drangenommen haben... Ob Dozenten sich immer Gedanken machen, ob ihre Aufgaben zu ihren Vorlesungen passen?
Dennoch behalte ich die Beschreibung mal im Hinterkopf, schadet nie dieses Verständnis für die Zukunft zu verbessern...
Vielen lieben Dank,
lg Hendrik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:11 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> .. Ob
> Dozenten sich immer Gedanken machen, ob ihre Aufgaben zu
> ihren Vorlesungen passen?
Ich schon
FRED
|
|
|
|
