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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:18 Di 07.11.2006 | | Autor: | Serna |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Wenn ich die reihe in die DGL einsetze, darf ich dann einfach die glieder ableiten? Müsste ja gehen da: ( f+g )' = f' + g'.
Wenn ich das tue habe ich einen ausdruck mit dem ich leider nichts anfangen kann.
Bitte helft mir.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mo 28.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
ich bin gerade bei genau der gleichen Aufgabe, zwar steht hier noch nichts aber ich hab mir gedacht ich eröffne mal keinen neues Thema und nimm mal das alte hier. Die Aufgabenstellung ist genau gleich und ich habe diese auch auf keiner anderen Internetseite nochmal gestellt.
So jetzt aber zu meinem Problem, ich denk' ich hab genau das gleiche und zwar häng ich bei der Rekursionsformel, kann es sein das ich falsch abgeleitet hab?
Als erstes hab die Reihe abgeleitet, wenn ich das richtig in Erinnerung habe darf ich dies einfach so tun für jedes einzelne Glied, wovon ich hier ja nur eines habe.
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^2[/mm]
Für die erste hab ich dann mit Produktregel
[mm]u=a_n[/mm]
[mm]u'=0[/mm]
[mm]v=x^n[/mm]
[mm]v'=nx^{n-1}[/mm]
ergibt:
[mm]anx^{n-1}[/mm]
Für die zweite Ableitung:
[mm]u=a[/mm]
[mm]u'=0[/mm]
[mm]v=nx^{n-1}[/mm]
[mm]v'=(n-1)*n*x^{n-2}= n^2nx^{n-1}=n^3x^{n-1}[/mm]
ergibt
[mm]an^3x^{n-1}[/mm]
diese setze ich dann ein und forme um:
[mm]x^2(an^3x^{n-1})+x(anx^{n-1})+(x^2-1)(a_nx^n)=0[/mm]
[mm]x^{2+(n-1)}an^3+x^nan+x^{2+n}a_n-a_nx^n=0[/mm]
aber irgendwie toll ist das nicht ich hätte ja gerne irgendwo ein [mm]a_{n+1}[/mm] für die Rekursionsformel und ich habe auch nicht in jedem Term ein [mm]a_n[/mm] muss ich die dann in der Rekursionsformel nicht berücksichtigen und kann einfach +C oder so dazu schreiben?
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mo 28.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Hi,
> ich bin gerade bei genau der gleichen Aufgabe, zwar steht
> hier noch nichts aber ich hab mir gedacht ich eröffne mal
> keinen neues Thema und nimm mal das alte hier. Die
> Aufgabenstellung ist genau gleich und ich habe diese auch
> auf keiner anderen Internetseite nochmal gestellt.
>
> So jetzt aber zu meinem Problem, ich denk' ich hab genau
> das gleiche und zwar häng ich bei der Rekursionsformel,
> kann es sein das ich falsch abgeleitet hab?
>
> Als erstes hab die Reihe abgeleitet, wenn ich das richtig
> in Erinnerung habe darf ich dies einfach so tun für jedes
> einzelne Glied, wovon ich hier ja nur eines habe.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^2[/mm]
> Für die erste hab ich dann mit Produktregel
> [mm]u=a_n[/mm]
> [mm]u'=0[/mm]
> [mm]v=x^n[/mm]
> [mm]v'=nx^{n-1}[/mm]
> ergibt:
> [mm]anx^{n-1}[/mm]
Du musst du Summe vollständig hinschreiben:
[mm]\bruch{d}{dx} \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n = \summe_{n=0}^{\infty}a_n nx^{n-1} [/mm]
(Auf der rechten Seite ist das erste Glied (n=0) gleich 0. Also ist dies gleich
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n nx^{n-1} [/mm]
)
> Für die zweite Ableitung:
> [mm]u=a[/mm]
> [mm]u'=0[/mm]
> [mm]v=nx^{n-1}[/mm]
> [mm]v'=(n-1)*n*x^{n-2}= n^2nx^{n-1}=n^3x^{n-1}[/mm]
Der erste Teil ist richtig, aber wie kommst du von $(n-1)*n$ auf [mm] $n^2*n$ [/mm] und warum wird im Exponent plötzlich $n-2$ zu $n-1$?
> ergibt
> [mm]an^3x^{n-1}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> diese setze ich dann ein und forme um:
> [mm]x^2(an^3x^{n-1})+x(anx^{n-1})+(x^2-1)(a_nx^n)=0[/mm]
> [mm]x^{2+(n-1)}an^3+x^nan+x^{2+n}a_n-a_nx^n=0[/mm]
> aber irgendwie toll ist das nicht ich hätte ja gerne
> irgendwo ein [mm]a_{n+1}[/mm] für die Rekursionsformel und ich habe
> auch nicht in jedem Term ein [mm]a_n[/mm] muss ich die dann in der
> Rekursionsformel nicht berücksichtigen und kann einfach +C
> oder so dazu schreiben?
Nein, du musst die Summen ausschreiben und die Terme mit gleichen Potenzen aufsammeln. Du hast doch:
[mm] x^2\summe_{n=0}^{\infty} a_n (n-1)nx^{n-2} + x \summe_{n=0}^{\infty} a_n nx^{n-1} +(x^2-1)\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} = 0[/mm]
Zusammengefasst:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (n-1)nx^{n} + \summe_{n=0}^{\infty} a_n nx^{n} +(x^2-1)\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} = 0[/mm]
oder:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (n-1)nx^{n} + \summe_{n=0}^{\infty} a_n nx^{n} +\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} - \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}= 0[/mm]
In der dritten Summe musst du den Summationsindex umdefinieren, damit wieder [mm] $x^n$ [/mm] dasteht; dann kannst du die Koeffizienten vergleichen.
Kommst du jetzt weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Di 29.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
danke dir.
Ich hab da leider falsch ausmultipliert gehabt.
Wenn ich nun die beiden letzten zusammengefassten Terme betrachte und meinen Anfang bei [mm]I_n = a_nx^n[/mm] setze erhalte ich:
[mm]I_nn(n-1)+I_n*n+I_nx^2-I_n=0[/mm]
bzw.
[mm]I_n(n-1)n+I_nn+(x^2-1)I_n=0[/mm]
Aber will ich nicht eigentlich [mm]I_{n+1}[/mm] erhalten oder muss ich nach [mm]a_{n+1}[/mm] gehen, dann bekomm ich die Teile aber nicht aus der Summe herraus?
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:30 Di 29.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Wenn ich nun die beiden letzten zusammengefassten Terme
> betrachte und meinen Anfang bei [mm]I_n = a_nx^n[/mm] setze erhalte
> ich:
> [mm]I_nn(n-1)+I_n*n+I_nx^2-I_n=0[/mm]
Nein, das ist nicht richtig. Du darfst nur Terme mit der gleichen Potenz von x zusammenfassen, denn du hast eine Gleichung der Form (nach Zusammenfassen aller Summen):
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_n x^n = 0 [/mm]
Da die Potenzreiehnentwicklung eindeutig ist, folgt daraus [mm] $c_n=0$ [/mm] für alle n, aber sonst nichts.
Daher musst du den Summationsindex der dritten Summe verschieben, damit du überall die gleichen Potenzen von x hast.
Schreibe dir am besten mal die ersten drei oder vier Terme jeder Summe hin und fasse gleiche Potenzen von x zusammen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 29.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
ich hab das jetzt nochmal ausprobiert, allerdings muss ich nicht den Summationsanfang von der dritten Summe verändern sondern von der zweiten und vierten. Ich bin jetzt von der hier ausgegangen
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (n-1)nx^{n} + \summe_{n=0}^{\infty} a_n nx^{n} +\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} - \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}[/mm]
wenn ich das jetzt ausrechne erhalte ich:
[mm](a_22x^2+a_32*3x^3+a_43*4x^4...)+(a_1x+a_22x^2+a_33x^3...) +(a_0x^2+a_1x^3+a_2x^4...)-(a_n+a_1x^1+a_2x^2...)[/mm]
Wenn ich jetzt überall mit der selben Potenz anfangen möchte muss ich ja bei [mm]x^2[/mm] starten und das tue ich nur bei der ersten und bei dritten, also verändere ich den Anfang der 2 und 4 Summe und setze diesen auf 2.
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (n-1)nx^{n} + \summe_{n=2}^{\infty +2} a_n nx^{n} +\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} - \summe_{n=2}^{\infty+2} a_n x^{n}[/mm]
Darf ich das mit dem unendlich so schreiben? Also wenn ich später anfange muss ich ja auch später aufhören, wenn ich bis n gelaufen wäre hätte ich ja auch ein n+2, aber bei unendlich brauch ich das nicht oder? Weil ich lauf ja eh gegen undendlich und höre an sich ja nicht auf, also müssten die 2 ja relativ egal sein.
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 30.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> ich hab das jetzt nochmal ausprobiert, allerdings muss ich
> nicht den Summationsanfang von der dritten Summe verändern
> sondern von der zweiten und vierten. Ich bin jetzt von der
> hier ausgegangen
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (n-1)nx^{n} + \summe_{n=0}^{\infty} a_n nx^{n} +\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} - \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}[/mm]
>
> wenn ich das jetzt ausrechne erhalte ich:
> [mm](a_22x^2+a_32*3x^3+a_43*4x^4...)+(a_1x+a_22x^2+a_33x^3...) +(a_0x^2+a_1x^3+a_2x^4...)-(a_n+a_1x^1+a_2x^2...)[/mm]
Das ist schonmal gut. Alles zusammen muss 0 sein.
Wenn du jetzt die Terme nach Potenzen von ordnest, muss jede Potenz für sich 0 sein, also
[mm]x^0: a_0 = 0[/mm]
[mm]x^1: 0=0 [/mm]
[mm]x^2: 3a_2+a_0 = 0[/mm]
[mm]x^3: 8a_3+a_1 =0[/mm]
Du bekommst also: [mm] $a_0=0$, $a_1$ [/mm] ist beliebig, [mm] $a_2=0$, $a_3=-\bruch{1}{8}a_1$, \dots
[/mm]
(Dass [mm] $a_1$ [/mm] nicht festgelegt wird, ist kein Wunder: die Lösung einer linearen DGL kann man immer mit einer beliebigen Konstanten multiplizieren. Die übliche Wahl ist [mm] $a_1=\bruch{1}{2}$.)
[/mm]
> Wenn ich jetzt überall mit der selben Potenz anfangen
> möchte muss ich ja bei [mm]x^2[/mm] starten und das tue ich nur bei
> der ersten und bei dritten, also verändere ich den Anfang
> der 2 und 4 Summe und setze diesen auf 2.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (n-1)nx^{n} + \summe_{n=2}^{\infty +2} a_n nx^{n} +\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} - \summe_{n=2}^{\infty+2} a_n x^{n}[/mm]
Nein, das ist falsch, denn du hast damit einfach die ersten Glieder deiner zweiten und vierten Summe weggelassen.
> Darf ich das mit dem unendlich so schreiben?
Nein, das Symbol unendlich bedeutet doch, dass die Summe als Grenzwert aufzufassen ist. Wenn du deine Summe um eine endliche Anzahl von Gliedern kürzt oder verschiebst, ändert sich an der Grenzwertbetrachtung nichts (höchstens am Grenzwert selber).
Zunächst kannst du alle bis auf die dritte Summe einfach zusammenfassen:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (n-1)nx^{n} + \summe_{n=0}^{\infty} a_n nx^{n} +\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} - \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}[/mm]
[mm] = \summe_{n=0}^{\infty} (n(n-1) + n -1) a_n x^n + \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} [/mm]
[mm] = \summe_{n=0}^{\infty} (n^2-1) a_n x^n + \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} [/mm]
Die hintere Summe fängt ja mit [mm] $a_0 x^2+a_1 x^3 [/mm] $ an. Du kannst deinen Summationsindex einfach verschieben, indem du $n=m-2$ setzt und statt bei $n=0$ bei $m=2$ anfängst:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} = \summe_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^m [/mm]
Für deinen Summationsindex darfst du aber ein beliebiges Symbol schreiben, also ist:
[mm] \summe_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^m = \summe_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^n [/mm]
Wenn du das einsetzt, bekommst du:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n^2-1) a_n x^n + \summe_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^n = 0[/mm]
Jetzt kannst du beide Summen zusammenschreiben, du musst nur die Terme für $n=0$ [mm] ($-a_0$) [/mm] und $n=1$ (aber der ist 0) getrennt betrachten:
[mm] - a_0 + \summe_{n=2}^{\infty} (n^2-1) a_n x^n + \summe_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^n = 0 [/mm]
[mm] -a_0 + \summe_{n=2}^{\infty} ((n^2-1) a_n + a_{n-2}) x^n = 0 [/mm]
Und jetzt kommt wieder die Folgerung, dass jede Potenz von x für sich 0 sein muss. Daraus bekommst du eine Rekursionsformel für die Koeffizienten [mm] $a_n$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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