Besondere Dichte gesucht < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 21.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Angenommen, X ist eine Zufallsvariable der Form: X(x) := [mm] x^{r}, [/mm] r [mm] \in \IN [/mm] , X:[0,1] -> [mm] \IR [/mm]
f sei die Dichtefunktion des Urbildraumes auf [0,1].
Meine Frage lautet nun:
Gibt es eine Dichte f, so dass die Zufallsvariable X den Erwartungswert 0 oder 1 hat?
Ich vermute nicht, denn so eine Dichte müsste ja den Wert [mm] \infty [/mm] bei 0 oder 1 haben, und den Wert 0 bei allen anderen Punkten von [0,1]. Dies würde die Dichte aber daran hindern, dass es sie das Kriterion: [mm] \integral_{\Omega}^{}{f(x) dx=1} [/mm] erfüllen kann.
Was denkt Ihr?
Ich freue mich auf Eure Antworten,
Viele Grüße,
Vilietha
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 So 21.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
versteh ich dich richtig, dass [mm] $\Omega [/mm] = [0,1]$ sein soll und
$X: [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] und zwar [mm] $X(\omega)=\omega^r$ [/mm] ?
Ansonsten musst du nochmal mit anderen worten erklären was du genau meinst.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 So 21.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Vivo,
ja, Du hast es ganz richtig verstanden 
Viele Grüße,
Vilietha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 So 21.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ok und du fragst dich jetzt, ob es eine Verteilung auf [mm] $\Omega$ [/mm] gibt, so dass $X$ den Erwartungswert 0 oder 1 hat.
Verstehe ich das richtig?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 So 21.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Ja ganz richtig.
Um ganz genau zu sein, gibt es eine Dichte f auf [0,1], so dass der Erwartungswert von X gleich 0 oder 1 ist? Und zwar für jedes beliebige r [mm] \in \IN. [/mm]
Ich vermute, dass es so eine Dichte nicht geben kann.
Denn X ist ja streng monoton steigend, und für jedes r [mm] \in \IN [/mm] auf ganz [0,1] invertierbar. Es würden als nur Dichtefunktionen f in Frage kommen, welche nur dem Randpunkt ( 0 oder 1 ) eine positive Wahrscheinlichkeit zuordnen und allen anderen Werten des Intervalls 0, da sich ja ansonsten der Erwartungswert von X in das Innere des Intervalls [0,1] verschieben würde.
Eine solche Dichte kann es aber ja nicht geben, da das Integral über [0,1] immer 0 ist.
Was denkst Du darüber?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 So 21.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also wie du ja schon geschrieben hast, ist klar, dass das Dirac-Maß im Punkt 0 bzw. im Punkt 1 das von dir gewollte erfüllen würde.
Allerdings hat das Dirac-Maß natürlich keine Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß.
Es ist ja so, dass wir eigentlich nur eine deterministische Transformation von einer Zufallsvariablen auf $[0,1]$ betrachten.
Ich nenn diese ZV auf $[0,1]$ mal [mm] $\tilde{X}$.
[/mm]
Erstmal hast du auf jeden Fall recht, ist nicht die ganze Masse der Verteilung von [mm] $\tilde{X}$ [/mm] an einem der beiden Ränder so "rutscht" der Erwartungswert von [mm] $\tilde{X}$ [/mm] ins innere des Intervalls $[0,1]$.
Wir wollen nun den Erwartungswert der deterministischen Transformation
[mm] $X=\tilde{X}^r, [/mm] ~ r [mm] \in \IN$
[/mm]
ganz allgemein gilt ja:
[mm] $(E[|\tilde{X}|^d])^{s/d} \leq E[|\tilde{X}|^s], [/mm] ~ 1 [mm] \leq [/mm] d [mm] \leq [/mm] s$
unser [mm] $\tilde{X}$ [/mm] ist sowieso immer positiv und für d=1 ergibt sich dann
[mm] $(E[\tilde{X}])^s \leq E[\tilde{X}^s]$
[/mm]
ist nun der Erwartungswert von [mm] $\tilde{X}$ [/mm] größer als 0, weil nicht die ganze Masse auf 0 sitzt, so ist
[mm] $(E[\tilde{X}])^s$ [/mm] auch größer als 0 und deshalb auch [mm] $E[\tilde{X}^s]$ [/mm] größer als 0
also kann es eigentlich keine so eine Verteilung mit Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes geben.
Denk ich mal ... lass mich aber gern eines besseren belehren.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 So 21.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Vivo,
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Wir haben also dieselbe Vermutung.
Aber auch ich lasse mich natürlich eines besseren belehren, sollte diese Vermutung nicht stimmen.
Viele Grüße,
Vilietha
|
|
|
|
