Beschreibung d. Linearen Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend.
Gegeben sind zwei Diagramme über Vektoren aus [mm] \IR^2.
[/mm]
Ein Diagramm zeigt zwei Vektoren.
Das andere Diagramm zeigt die Vektoren nach der Linearen Abbildung.
Bsp:
[mm] a)u_{j} [/mm] zeigt die unabh. Variablen(ich hoffe man nennt dies hier so), [mm] v_{j} [/mm] zeigt der Bilder; j=1,2
[mm] \pmat{4\\-4}=u_{1} \pmat{4\\2}=u_{2}
[/mm]
[mm] \pmat{-8\\4}=v_{1} \pmat{-2\\10}=v_{2}
[/mm]
Ich habe jetzt durch logische Schlüsse und rumtüfteln folgende Beziehung für die lineare Abbildung aufgestellt:
[mm] \phi(\pmat{x_{1}\\x_{2}}):=\pmat{x_{1}-3x_{2}\\2x_{1}+x_{2}}
[/mm]
Ist dies so richtig?
Und gibt es dafür ein bestimmtes Verfahren? Ein Lineares Gleichungssystem wäre etwas, dass mir spontan einfällt, da ja bestimmte Bedingungen gegeben sind.
Denn mit Abbildungen bis [mm] R^3 [/mm] klappt das denke ich einigermaßen.
Alles was danach kommt wird wohl etwas schwerer.
Grüße und danke im Voraus!
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moin,
Um dein Problem systematisch zu lösen würde ich dir folgendes Vorgehen empfehlen:
1) [mm] $\vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] x_2 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1}$.
[/mm]
Da deine Abbildung linear sein soll brauchst du nur zu wissen, was sie mit deinen beiden Standardbasisvektoren macht (oder im [mm] $\IR^3$ [/mm] dann eben mit den 3 Standardbasisvektoren, etc.) um zu wissen, was sie mit allen macht.
Diese Frage kannst du dir nun über ein lineares Gleichungssystem beantworten.
In deinem Fall suchst du für $i = 1$ und $i=2$ reelle Zahlen [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_i$ [/mm] so, dass [mm] $a_i *u_1 [/mm] + [mm] b_i*u_2 [/mm] = [mm] e_i$.
[/mm]
Hierbei steht [mm] $e_i$ [/mm] für den $i$-ten Standardbasisvektor, also den Vektor, der an der $i-$ten Stelle (von oben) eine Eins hat und sonst nur Nullen.
Diese [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_i$ [/mm] findest du, indem du ein lineares Gleichungssystem aufstellst und löst.
Da deine Abbildung immer noch linear ist kannst du dann sagen, dass [mm] $\phi \left( \vektor{1 \\ 0} \right) [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] v_2$ [/mm] und entsprechend auch für [mm] $e_2$.
[/mm]
Auf die Art kannst du dein Problem systematisch lösen.
Überdies ist dieses Vorgehen auch sehr hilfreich, wenn es später in dem Zusammenhang um Matrizen geht; aber ich will mal nicht zu viel spoilern.^^
lg
Schadow
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Hallo.
Da ich mich derzeitig auf eine wichtige Prüfung vorbereiten muss, wollte ich mich wochenends mit der Lösungsweise auseinandersetzen.
Ich habe dennoch eine kurze Frage:
Für:
[mm] u_{1}=\vektor{2\\2}
[/mm]
[mm] u_{2}=\vektor{0\\4}
[/mm]
[mm] v_{1}=\vektor{0\\-2}
[/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{-4\\-2}
[/mm]
habe ich folgende Lineare Abbildungsvorschrift erstellt:
[mm] \phi(\vektor{x_{1}\\x_{2}})=\vektor{2x_{1}+2x_{2}\\2x_{1}+x_{2}}
[/mm]
Damit erhalte ich für [mm] u_{3}=\vektor{3\\6} v_{3}=\vektor{18\\12}
[/mm]
Diesen Vektor muss ich in einem Koord markieren.
Problem ist, dass das Koord in Abzisse und Ordniate nur von -12 bis 12 reicht und ich somit den Wert nicht setzen kann.
Also ist meine Lösung wohl falsch?
Wo liegt der Fehler?
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo.
>
> Da ich mich derzeitig auf eine wichtige Prüfung
> vorbereiten muss, wollte ich mich wochenends mit der
> Lösungsweise auseinandersetzen.
>
> Ich habe dennoch eine kurze Frage:
>
> Für:
> [mm]u_{1}=\vektor{2\\2}[/mm]
> [mm]u_{2}=\vektor{0\\4}[/mm]
> [mm]v_{1}=\vektor{0\\-2}[/mm]
> [mm]v_{2}=\vektor{-4\\-2}[/mm]
>
> habe ich folgende Lineare Abbildungsvorschrift erstellt:
>
> [mm]\phi(\vektor{x_{1}\\x_{2}})=\vektor{2x_{1}+2x_{2}\\2x_{1}+x_{2}}[/mm]
>
> Damit erhalte ich für [mm]u_{3}=\vektor{3\\6} v_{3}=\vektor{18\\12}[/mm]
>
> Diesen Vektor muss ich in einem Koord markieren.
> Problem ist, dass das Koord in Abzisse und Ordniate nur von
> -12 bis 12 reicht und ich somit den Wert nicht setzen
> kann.
>
> Also ist meine Lösung wohl falsch?
> Wo liegt der Fehler?
>
Der Fehler liegt dann wohl in der Abbildungsvorschrift.
> Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo und danke für die Antwort.
Setze ich aber die Werte für [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] ein, so erhalte ich [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] und damit hätte ich eine mögliche Abbildungsvorschrift.
Vielleicht gibt es noch andere, aber das würde ja nichts daran ändern, dass diese für die gegeben Werte stimmt und somit erfüllt.
Oder muss ich hier weit über den Tellerrand blicken?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für die Antwort.
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> Setze ich aber die Werte für [mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{2}[/mm] ein, so
> erhalte ich [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm]
Ich erhalte aber ezwas ganz anderes ! Deine Abbildungsvorschrift ist einfach falsch !
FRED
> und damit hätte ich eine
> mögliche Abbildungsvorschrift.
> Vielleicht gibt es noch andere, aber das würde ja nichts
> daran ändern, dass diese für die gegeben Werte stimmt und
> somit erfüllt.
>
> Oder muss ich hier weit über den Tellerrand blicken?
>
> Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Do 10.05.2012 | | Autor: | Masseltof |
Danke ich habe meinen Fehler gefunden :).
Viele Grüße
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