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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Beschränktheit vonBorelmengen
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Beschränktheit vonBorelmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:23 Fr 30.09.2016
Autor: Die_Suedkurve

Hallo zusammen,

folgende Situation:
Betrachte den euklidischen [mm] \IR^d, [/mm] das dazugehörige Lebesguemaß [mm] \lambda_d [/mm] auf den induzierten Borelmengen [mm] \mathcal{B}(\IR^d). [/mm] Sei [mm] \mathcal{B}_b(\IR^d) [/mm] die Menge der beschränkten Borelmengen, d.h. die Mengen, die endliches Lebesguemaß haben.

Behauptung: B [mm] \in \mathcal{B}_b(\IR^d) \gdw [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}(\IR^d) [/mm] ist in einer Kugel enthalten.

Die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] gilt offensichtlich.
Gilt aber auch die andere Richtung?

Grüße

        
Bezug
Beschränktheit vonBorelmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:10 Fr 30.09.2016
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> folgende Situation:
>  Betrachte den euklidischen [mm]\IR^d,[/mm] das dazugehörige
> Lebesguemaß [mm]\lambda_d[/mm] auf den induzierten Borelmengen
> [mm]\mathcal{B}(\IR^d).[/mm] Sei [mm]\mathcal{B}_b(\IR^d)[/mm] die Menge der
> beschränkten Borelmengen, d.h. die Mengen, die endliches
> Lebesguemaß haben.

Na ja. Nennt Ihr Borelmengen mit endlichem  Lebesguemaß wirklich "beschränkt" ? Das ist bizarr, aber von mir aus .....


>  
> Behauptung: B [mm]\in \mathcal{B}_b(\IR^d) \gdw[/mm] B [mm]\in \mathcal{B}(\IR^d)[/mm]
> ist in einer Kugel enthalten.

Das ist Unsinn.


>  
> Die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] gilt offensichtlich.
>  Gilt aber auch die andere Richtung?

Nö. Betrachte im Falle d=1 mal die Menge [mm] \IQ. [/mm]

Ist [mm] \IQ [/mm] eine Borelmenge ? Wenn ja, wie fällt [mm] \lambda_1(\IQ) [/mm] aus ?

Ist [mm] \IQ [/mm] in einer Kugel enthalten ?


>  
> Grüße


Bezug
                
Bezug
Beschränktheit vonBorelmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Fr 30.09.2016
Autor: Die_Suedkurve


> Na ja. Nennt Ihr Borelmengen mit endlichem  Lebesguemaß
> wirklich "beschränkt" ? Das ist bizarr, aber von mir aus

Ich hatte das so verstanden, aber anscheinend habe ich es falsch verstanden.

> > Die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] gilt offensichtlich.
>  >  Gilt aber auch die andere Richtung?
>  
> Nö. Betrachte im Falle d=1 mal die Menge [mm]\IQ.[/mm]
>  
> Ist [mm]\IQ[/mm] eine Borelmenge ? Wenn ja, wie fällt
> [mm]\lambda_1(\IQ)[/mm] aus ?
>  
> Ist [mm]\IQ[/mm] in einer Kugel enthalten ?

[mm] \IQ [/mm] ist abzählbar, also kann ich es als eine abzählbare Vereinigung seiner eigenen Elemente darstellen. Einelementige Mengen sind abgeschlossen in [mm] \IR, [/mm] also insbesondere messbar. Also kann ich [mm] \IQ [/mm] als abzählbare Vereinigung von Borel-messbaren Mengen darstellen und damit ist [mm] \IQ [/mm] selber Borel messbar.
Insbesondere ist obige Vereinigung disjunkt. Einelementige Mengen haben Lebesguemaß 0, also hat auch [mm] \IQ [/mm] Lebesguemaß 0 und ist somit ,,nach meiner Definition in [mm] \mathcal{B}_b(\IR^d)". [/mm] Aber [mm] \IQ [/mm] ist in keiner Kugel enthalten, also ist die Behauptung falsch.

Okay, dann weiß ich jetzt, dass man mit beschränkten Borel-Mengen gerade die Mengen B [mm] \in \mathcal{B}(\IR^d) [/mm] meint, die in einer Kugel liegen und somit implizit endliches Lebesguemaß haben.

Richtig so?

Bezug
                        
Bezug
Beschränktheit vonBorelmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Sa 01.10.2016
Autor: fred97


> > Na ja. Nennt Ihr Borelmengen mit endlichem  Lebesguemaß
> > wirklich "beschränkt" ? Das ist bizarr, aber von mir aus
>
> Ich hatte das so verstanden, aber anscheinend habe ich es
> falsch verstanden.
>  
> > > Die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] gilt offensichtlich.
>  >  >  Gilt aber auch die andere Richtung?
>  >  
> > Nö. Betrachte im Falle d=1 mal die Menge [mm]\IQ.[/mm]
>  >  
> > Ist [mm]\IQ[/mm] eine Borelmenge ? Wenn ja, wie fällt
> > [mm]\lambda_1(\IQ)[/mm] aus ?
>  >  
> > Ist [mm]\IQ[/mm] in einer Kugel enthalten ?
>  
> [mm]\IQ[/mm] ist abzählbar, also kann ich es als eine abzählbare
> Vereinigung seiner eigenen Elemente darstellen.
> Einelementige Mengen sind abgeschlossen in [mm]\IR,[/mm] also
> insbesondere messbar. Also kann ich [mm]\IQ[/mm] als abzählbare
> Vereinigung von Borel-messbaren Mengen darstellen und damit
> ist [mm]\IQ[/mm] selber Borel messbar.
>  Insbesondere ist obige Vereinigung disjunkt. Einelementige
> Mengen haben Lebesguemaß 0, also hat auch [mm]\IQ[/mm] Lebesguemaß
> 0 und ist somit ,,nach meiner Definition in
> [mm]\mathcal{B}_b(\IR^d)".[/mm] Aber [mm]\IQ[/mm] ist in keiner Kugel
> enthalten, also ist die Behauptung falsch.
>  
> Okay, dann weiß ich jetzt, dass man mit beschränkten
> Borel-Mengen gerade die Mengen B [mm]\in \mathcal{B}(\IR^d)[/mm]
> meint, die in einer Kugel liegen und somit implizit
> endliches Lebesguemaß haben.
>  
> Richtig so?

Ja




Bezug
                                
Bezug
Beschränktheit vonBorelmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Sa 01.10.2016
Autor: Die_Suedkurve

Okay, danke schön.

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