Beschränktheit eines Operators < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Betrachte den Operator
[mm] $A:C\left([0,1]\right)\longrightarrow C\left([0,1]\right)$ [/mm] mit [mm] $A\left(x\left(t\right)\right)=\frac{d^2x}{dt^2}+x(t)=x''(t)+x(t)$
[/mm]
dessen Definitionsbereich aus zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf $[0,1]$ mit der Eigenschaft
$x(0)=x'(0)$
besteht. Zeigen Sie:
(i) : A ist nicht beschränkt
(ii): A ist nicht abgeschlossen |
Hallo an alle.
Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte wie man zeigt, dass A nicht beschränkt ist.
Dass A nicht abgeschlossen ist, lässt sich dann bestimmt über Widerspruch mit dem "Satz vom abgeschlossenen Graphen" und mit Hilfe von (i) machen.
Ich danke euch schon mal.
Gruß Denny
|
|
| |
|
Hi,
> Betrachte den Operator
>
> [mm]A:C\left([0,1]\right)\longrightarrow C\left([0,1]\right)[/mm]
> mit
> [mm]A\left(x\left(t\right)\right)=\frac{d^2x}{dt^2}+x(t)=x''(t)+x(t)[/mm]
>
> dessen Definitionsbereich aus zweimal stetig
> differenzierbaren Funktionen auf [mm][0,1][/mm] mit der Eigenschaft
>
> [mm]x(0)=x'(0)[/mm]
>
> besteht. Zeigen Sie:
>
> (i) : A ist nicht beschränkt
> (ii): A ist nicht abgeschlossen
> Hallo an alle.
>
> Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte wie man
> zeigt, dass A nicht beschränkt ist.
>
also: A beschränkt bedeutet ja, dass es eine konstante C gibt mit
[mm] $\|A x\|_C\le [/mm] C [mm] \|x\|_C, \,\forall [/mm] x $
x eine Funktion wie bei dir oben. setzst du jetzt deinen konkreten differentialoperator für A ein, bedeutet das
[mm] $\|x'' [/mm] + [mm] x\|_C\le [/mm] C [mm] \|x\|_C, \,\forall [/mm] x $
die C-Norm von $x''$ ist aber eigentlich so etwas wie die [mm] $C^2$-norm [/mm] von x, die sich natürlich nicht durch die [mm] $C^0$-norm [/mm] abschätzen lässt.
denn: du kannst dir eine funktionenfolge basteln, die im definitionsbereich von $A$ liegen, eine gleichmäßig beschränkte C-Norm haben, deren zweite ableitung (also [mm] $C^2$-norm) [/mm] aber beliebig groß wird. so ein gegenbeispiel reicht als argument.
gruß
matthias
> Dass A nicht abgeschlossen ist, lässt sich dann bestimmt
> über Widerspruch mit dem "Satz vom abgeschlossenen Graphen"
> und mit Hilfe von (i) machen.
>
> Ich danke euch schon mal.
> Gruß Denny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Do 04.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
danke zunächst einmal für die Antwort. Fällt dir zufällig eine Folge ein, mit der man das anschaulich verdeutlichen kann?
Gruß und Dank
Denny
|
|
|
| |
|
Hallo Denny,
> danke zunächst einmal für die Antwort. Fällt dir zufällig
> eine Folge ein, mit der man das anschaulich verdeutlichen
> kann?
nimm doch einfach die Folge [mm] $x^2,x^3,x^4,\dots$. [/mm] Dann ist [mm] $\|x^n\|_\infty [/mm] =1$ für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ und [mm] $\|n*(n-1)x^{n-2}+x^n\|_\infty=n*(n-1)+1$. [/mm] Außerdem liegen alle Monome für [mm] $n\ge [/mm] 2$ im Definitionsbereich.
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, danke für die Hilfe.
Ich meine jedoch, dass man andere Normen betrachten muss. Für die Folge [mm] $\left(x^n\right)_{n\in\IN}$ [/mm] mit
[mm] $(n\geqslant{2})$ [/mm] muss man die [mm] $C^2\left([0,1]\right)$-Norm [/mm] betrachten, also
[mm] $\Vert{x^n}\Vert_{C^2\left([0,1]\right)}=\sum_{i=0}^{2}{\Vert{x^{n^{(i)}}}\Vert_{\infty}}=\cdots=n^2+1$
[/mm]
Und für [mm] $Ax^n$ [/mm] mit [mm] $(n\geqslant{2})$ [/mm] muss man die [mm] $C\left([0,1]\right)$-Norm [/mm] betrachten, also
[mm] $\Vert{Ax^n}\Vert_{C\left([0,1]\right)}=\Vert{n\cdot{(n-1)\cdot{x^{n-2}}}+x^n}\Vert_{\infty}=\cdots=n^2-n$
[/mm]
Und da nun
[mm] $n^2-n\leqslant{n^2+1}\quad\forall\,n\geqslant{2}$
[/mm]
gilt, kann eine solche Konstante nicht existieren, also ist $A$ nicht beschränkt.
Richtig so?
Danke nochmals
Gruß Denny
Ciao
|
|
|
| |
|
> Hallo, danke für die Hilfe.
>
> Ich meine jedoch, dass man andere Normen betrachten muss.
> Für die Folge [mm]\left(x^n\right)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm](n\geqslant{2})[/mm] muss man die [mm]C^2\left([0,1]\right)[/mm]-Norm
> betrachten, also
>
> [mm]\Vert{x^n}\Vert_{C^2\left([0,1]\right)}=\sum_{i=0}^{2}{\Vert{x^{n^{(i)}}}\Vert_{\infty}}=\cdots=n^2+1[/mm]
>
> Und für [mm]Ax^n[/mm] mit [mm](n\geqslant{2})[/mm] muss man die
> [mm]C\left([0,1]\right)[/mm]-Norm betrachten, also
>
> [mm]\Vert{Ax^n}\Vert_{C\left([0,1]\right)}=\Vert{n\cdot{(n-1)\cdot{x^{n-2}}}+x^n}\Vert_{\infty}=\cdots=n^2-n[/mm]
>
> Und da nun
>
> [mm]n^2-n\leqslant{n^2+1}\quad\forall\,n\geqslant{2}[/mm]
>
> gilt, kann eine solche Konstante nicht existieren, also ist
> [mm]A[/mm] nicht beschränkt.
>
> Richtig so?
>
Nein, ich denke nicht. Es steht explizit in der aufgabe, dass du den operator A auf [mm] $C^0$ [/mm] betrachten sollst.
Wenn du ihn als operator von [mm] $C^2$ [/mm] nach [mm] $C^0$ [/mm] auffasst, ist er nämlich stetig (bzw. beschränkt). das hast du selber gezeigt, die konstante C ist in diesem fall 1.
gruß
> Danke nochmals
> Gruß Denny
> Ciao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Danke vielmals
Ciao Denny
|
|
|
|
