Beschränktheit einer Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Definition:
Sei [mm] \left( X, d \right) [/mm] ein metrischer Raum und A [mm] \subseteq [/mm] X.
A heißt beschränkt, wenn gilt:
Für alle x [mm] \in\ [/mm] X existiert ein M > 0, sodass d(a,x) [mm] \le [/mm] M für alle a [mm] \in\ [/mm] A.
Beweisen Sie:
Für A [mm] \ne \emptyset [/mm] gilt:
A beschränkt [mm] \gdw [/mm] Es existiert ein x [mm] \in\ [/mm] X und ein M > 0, sodass d(a,x) [mm] \le [/mm] M für alle a [mm] \in\ [/mm] A. |
Ich bräuchte Hilfe bei dem Beweis hier.
Also einfach gesagt, es geht in diesem Beweis nur darum, zu zeigen, dass es ausreicht, einen Punkt in X zu finden, der die Bedingung erfüllt, um zu wissen, dass A beschränkt ist, statt es für alle Punkte in X nachweisen zu müssen.
Die Hinrichtung in diesem Beweis ist klar! Das besagt ja die Definition, aber bei der Rückrichtung bleib ich irgendwie hängen.
Meine Idee war es, mit Hilfe der Dreiecksungleichung der Metrik einen beliebigen Punkt in X immer auf den Punkt zurückzuführen, für den diese Bedingung gilt, um den neuen Abstand mit Hilfe von M abschätzen zu können, aber irgendwie will mir das nicht gelingen.
Habt ihr 'nen Tipp, wie ich an das ganze rangehen muss? Übrigens darf ich den Begriff des Durchmessers hier noch nicht benutzen. Die Beschränktheit zu zeigen mit Hilfe des Durchmessers soll mit diesem Satz nämlich geführt werden.
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
deine Idee ist doch gut, wo hängt es nun?
Sei dein ausgezeichnetes x mal [mm] \overline{x} [/mm] genannt, dann gilt doch für jedes andere x:
$d(x,a) [mm] \le d(x,\overline{x}) [/mm] + [mm] d(\overline{x},a) \le d(x,\overline{x}) [/mm] + M =: [mm] M_x$
[/mm]
Und du bist fertig.
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
