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Hallo!
Ich habe eine Verständnisfrage. Was ist der Unterschied zwischen dem Berechnen eines Grenzwertes und der Bestimmung der Beschränktheit.
Ich kann z.B. die obere Schranke 2 für den Term [mm] \bruch{5n}{1-3n} [/mm] beweisen. Aber wenn ich den Grenzwert von diesem Term berechnen würde, dann bekomm ich doch genauso die obere Schranke oder?
Wie kann man eigentlich die Beschränktheit einer Folge beweisen? Muss man dazu immer eine obere bzw. unter Schranke schätzen und dann beweisen?
Danke!
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Nun, unter einer Schranke versteht man IRGENDEINE Schranke, die niemals ÜBERschritten wird. Die minimale Differenz darf beliebig sein.
Ein Grenzwert ist dagegen eine Zahl, der sich deine Funktion immer weiter annähert, ohne sie zu erreichen. Die Differenz wird aber unendlich klein.
Deine Funktion z.B.: Wenn man mit 1/n erweitert, sieht man, daß die gegen -5/3 strebt. Das ist der Grenzwert und kleinste obere Schranke, aber mögliche Schranken sind eben auch -5/3; -1; 0; 2;...
Von daher kann man meist recht schnell sehen, daß eine Funktion beschränkt ist. Polynome vom Grad 2n sind beispielsweise IMMER beschränkt, wenngleich nur nach unten ODER nach oben. Die kleinste obere oder größte untere Schranke zu bestimmen, ist etwas schwieriger und gleicht dem Finden von Extremstellen in der Analysis.
Allerdings haben Polynome KEINEN Grenzwert, denn sie streben ja gegen +/- unendlich.
Ein anderes Beispiel:
[mm] e^{{(n-10)}^2}
[/mm]
sieht aus wie eine Glockenkurve und hat ein Maximum bei n=10. Danach nähert sie sich asymptotisch der 0.
Obere Schranken sind z.B. 2; 5; 10; ..., die kleinste obere Schranke ist 1, und sie wird für n=10 erreicht.
Danach allerdings wendet sich die Folge ihrem Grenzwert, der 0 zu, die gleichzeitig größte untere Schranke ist.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 Di 03.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
dazu habe ich auch mal eine Frage.
> Deine Funktion z.B.: Wenn man mit 1/n erweitert, sieht
> man, daß die gegen -5/3 strebt. Das ist der Grenzwert und
> kleinste obere Schranke, aber mögliche Schranken sind eben
> auch -5/3; -1; 0; 2;... [...]
> Die kleinste obere oder größte untere
> Schranke zu bestimmen, ist etwas schwieriger und gleicht
> dem Finden von Extremstellen in der Analysis.
> Allerdings haben Polynome KEINEN Grenzwert, denn sie
> streben ja gegen +/- unendlich.
>
Wieso ist obere Schranke hier 2? Wie kommt mathe-tu-muenchen darauf?
> Ich kann z.B. die obere Schranke 2 für den Term $ [mm] \bruch{5n}{1-3n} [/mm] $ beweisen.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Di 03.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
> Hi,
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> dazu habe ich auch mal eine Frage.
>
> Wieso ist obere Schranke hier 2? Wie kommt
> mathe-tu-muenchen darauf?
>
> > Ich kann z.B. die obere Schranke 2 für den Term
> [mm]\bruch{5n}{1-3n}[/mm] beweisen.
>
>
1. 1-3n<0 fuer [mm] n\ge1
[/mm]
2. 1-3n<5n da n>0
daraus folgt [mm]\bruch{5n}{1-3n}<0<2[/mm]
wieso er grad 2 genommen hat weiss ich nicht, aber Schranke ist ja Schranke, er haett auch 2000 nehmen koennen.
Gruss leduart
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Hallo!
Mit Polynom von Grad 2n meinst du Polynome die immer nur gerade Potenzen aufweisen?
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Ja. So ein Polynom kommt aus dem unendlichen, und geht wieder ins unendliche. Beides ist entweder positiv oder negativ. Beschränkt ist die Funktion dann nur zu einer Seite hin.
Dagegen ist der Wertebereich ungrader Polynome ja immer [-oo ; +oo] , somit gibts weder Schranken noch Grenzen.
Allerdings muß man das etwas einschränken, denn meist geht man ja von n>0 aus, d.h. der negative Teil interessiert einen nicht, und dann gibts doch wieder eine (!) Schranke.
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Es stimmt nicht, dass eine Folge ihren Grenzwert nicht erreichen darf! Dann hätte ja die Folge 1,1,1,1,1.... gar keinen Grenzwert, weil dieser immer erreicht wird. Im "Gegenteil": Eine Folge darf ihren Grenzwert beliebig oft erreichen. Die Differenz zwischen Folgeglied und Grenzwert muss nur mit wachsendem n nach 0 gehen, muss aber nicht immer abnehmen. Beispiel:
[mm] a_{n}=sin(n)/n
[/mm]
Der Sinus schwankt zwischen +1 und -1 hin und her, und da das n im Bogenmaß allen möglichen Winkeln entspricht, gehen die sin-Werte tatsächlich chaotisch rauf und runter. Durch den Faktor 1/n nähert sich das Tanzen der Zahlen aber immer mehr dem Wert 0. Für [mm] b_{n}=sin(\pi [/mm] *n/10)/n wird das Ganze regelmäßig, wobei jedes 10. Folgenglied den Grenzwert 0 annimmt. Beide Folgen konvergieren gegen 0. Ein obere Grenze wäre für beide Folgen z.B. die wunderschöne Zahl 4711.
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