Beschränktes Bild < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $A\in\mathbb{R}^n$ [/mm] beschränkt. [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ [/mm] stetig.
Zeigen Sie, dass dann auch das Bild $f(A)$ beschränkt ist. |
Hi,
ich würde gerne obiges Beweisen, aber so recht weiß ich nicht wie.
Da A beschränkt ist gibt es ein R>0 so, dass [mm] $A\subset B_R(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] A$
Zu vor wurde gezeigt, dass wenn A beschränkt ist, dann ist der Abschluss [mm] $\overline{A}$ [/mm] kompakt.
Ich würde nun also [mm] $A\subset \overline{A}$ [/mm] betrachten.
Denn kompakte Mengen nehmen unter stetigen Funktionen ihr Maximum und Minimum an.
Das heißt, dass [mm] $f(\overline{A})$ [/mm] eine obere und untere Schranke hat. Sei S diese obere Schranke. Dann findet man einen Ball [mm] $B_S(f(x))$ [/mm] mit [mm] $f(\overline{A})\subset B_S(f(x))$ [/mm] für alle f(x) im Bild von [mm] $f(\overline{A})$
[/mm]
Und dieses S würde dann auch f(A) beschränken.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Fr 25.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A\in\mathbb{R}^n[/mm] beschränkt.
> [mm]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/mm] stetig.
> Zeigen Sie, dass dann auch das Bild [mm]f(A)[/mm] beschränkt ist.
> Hi,
>
> ich würde gerne obiges Beweisen, aber so recht weiß ich
> nicht wie.
>
> Da A beschränkt ist gibt es ein R>0 so, dass [mm]A\subset B_R(x)[/mm]
> für alle [mm]x\in A[/mm]
>
> Zu vor wurde gezeigt, dass wenn A beschränkt ist, dann ist
> der Abschluss [mm]\overline{A}[/mm] kompakt.
> Ich würde nun also [mm]A\subset \overline{A}[/mm] betrachten.
> Denn kompakte Mengen nehmen unter stetigen Funktionen ihr
> Maximum und Minimum an.
Das gilt nur, wenn die Funktion reellwertig ist !!!!
>
> Das heißt, dass [mm]f(\overline{A})[/mm] eine obere und untere
> Schranke hat.
Das ist völlig sinnlos, denn [mm]f(\overline{A})[/mm] ist eine Teilmenge des [mm] \IR^m [/mm] !
> Sei S diese obere Schranke. Dann findet man
> einen Ball [mm]B_S(f(x))[/mm] mit [mm]f(\overline{A})\subset B_S(f(x))[/mm]
> für alle f(x) im Bild von [mm]f(\overline{A})[/mm]
>
> Und dieses S würde dann auch f(A) beschränken.
Deine erste Idee mit [mm] \overline{A} [/mm] zu argumentieren, war gut.
[mm] \overline{A} [/mm] ist kompakt, also ist [mm] f(\overline{A}) [/mm] kompakt und damit beschränkt.
Wegen f(A) [mm] \subseteq f(\overline{A}) [/mm] , ist f(A) dann beschränkt.
Fertig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ach natürlich. [mm] $f(\overline{A})$ [/mm] ist ja bereits durch die Kompaktheit beschränkt.
Vielen Dank.
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