Beschränkte Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 08.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo zusammen,
ich bin auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich nicht weiter komme:
Es existiert ein Flugzeug mit 100 Sitzplätzen. Pro verkauften Sitzplatz erhalte ich 20 . Die Nachfrage nach den Sitzplätzen ist normalverteilt N (75/20).
Die Frage lautet nun, welchen erwarteten Gewinn werde ich erwirtschaften?
Mein Problem ist nun, dass der Erwartungsewrt für die gesamte Normalverteilung (also von -unendlich bis +unendlich) berechnet wurde. Nun wird die Verteilung jedoch links bei 0 und rechts bei 100 abgeschnitten.
Theoretisch müsste ich doch nur die Fläche (also Integral) von 0 bis 100 berechnen und von dieser Fläche den Schwerpunkt suchen, oder? In der Versicherungsmathematik gibt es wohl ähnlich gelagerte Probleme (man könnte sich vorstellen, dass erst ab einem bestimmten Betrag gezahlt wird, oder nur bis zu einem bestimmten). Leider komme ich bei diesem Problem nicht weiter.
Kann mir jemand helfen?
ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/15091,0.html?sid=21cb4d476e944a6a525cd6e4d0b14f2b
Vielen Dank im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, eigentlich müsste es sich doch einfach um eine trunkierte (bedingte) Erwartung handeln und sich der erwartete Gewinn gemäß
$20 [mm] \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}20} \int_0^{100} x\, e^{- \frac{(x-75)^2}{2 \cdot 20^2}}\, dx}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}20} \int_0^{100} e^{- \frac{(x-75)^2}{2 \cdot 20^2}}\, dx}$
[/mm]
berechnen lassen, oder begehe ich da gerade einen Denkfehler?
Ich gehe davon aus, dass [mm] $\sigma=20$ [/mm] die Streuung ist (und nicht [mm] $\sigma^2=20$ [/mm] die Varianz).
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo,
ich habe mir überlegt, den Schwerpunkt des Flächenstücks zu berechnen. Davon benötige ich lediglich die x-Koordinate.
Also :
[mm] \bruch{1}{ 20*\wurzel{2* \pi}}\integral_{0}^{100} [/mm] x [mm] e^{- \bruch{1}{2} (\bruch{x-75}{20})^{2}} [/mm] dx
Würde das auch reichen?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zunächst hatte ich einen Tippfehler in meiner Antwort; schau sie dir bitte noch einmal an.
Deine Lösung ist definitiv falsch. Was macht denn die $20$ im Nenner??
Nein, ich denke das geht so nicht, wie du es vorhast.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo Julius,
die 20 steht für Sigma.
Aber wo ist mein Denkfehler: Will ich den Schwerpunkt eines Flächenstücks berechnen, bekomme ich die x-Koordinate durch:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {x*f(x) dx}
Setzte ich nun für f(x) die Normalverteilung mit meinen Parametern 75 und 20 ein und beschränke das integral von 0 bis 100, müsste ich doch zu meinem gewünschten Ergebnis kmmen, oder?
Hmm...
*grübel*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> die 20 steht für Sigma.
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") , ja, ist klar, ich hatte wohl ein Brett vor dem Kopf (die 20 kommt halt zweimal in der Aufgabenstellung vor, das hatte mich verwirrt).
Um Gottes Willen, ich bin unkonzentriert, denn das hatte ich in meiner Lösung vergessen... Jetzt sollte meine Lösung aber stimmen. 
> Aber wo ist mein Denkfehler: Will ich den Schwerpunkt
> eines Flächenstücks berechnen, bekomme ich die x-Koordinate
> durch:
> [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {x*f(x) dx}
> Setzte ich nun für f(x) die Normalverteilung mit meinen
> Parametern 75 und 20 ein und beschränke das integral von 0
> bis 100, müsste ich doch zu meinem gewünschten Ergebnis
> kmmen, oder?
> Hmm...
Ja, schau dir doch mal mein Ergebnis an. Der Zähler dort ist doch dein Lösungsvorschlag. Was du vergessen hast (die Grundidee ist ja richtig), sind einfach zwei Dinge:
1) Du musst durch die Gesamtmasse noch teilen.
2) Du musst alles mal 20 (Euro) nehmen, denn sonst rechnet man ja nur die erwartete Anzahl von Passagieren aus.
Viele Grüße
Julius
> *grübel*
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Shiddi |
Hallo,
sorry, dass ich NOCHMAL nachfragen muss:
also, den ganzen Term mal 20 ist klar, da ich sonst nicht den Gewinn errechne ( ).
Warum muss ich alles nochmals durch die Gesamtmasse teilen?
Letzte Frage: Ich habe versucht meine Lösung zu berechnen. Leider bin ich auf halben Wege stecken geblieben. Ich substituierte t= [mm] (\bruch{x-75}{20})^{2}
[/mm]
Das dumme ist, wenn ich dann das Substitut zu dx errechnen möchte bleibt ein x übrig, das noch im Integral stehen bleibt.
Oje, irgendwo habe ich mich verfranzt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich will nicht zu theoretisch werden mit bedingten Erwartungswerten, das würde dich nur verwirren. Daher argumentiere ich hier nur anschaulich:
Der Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen $X$, deren Verteilung eine Dichte [mm] $f_X$ [/mm] besitzt, ist
$E[X] = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, f_X(x)\, [/mm] dx$.
Bei dir ist aber
$f(x) = [mm] 1_{[0,100]}(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 20} \cdot e^{\frac{(x-75)^2}{2 \cdot 20^2}}$
[/mm]
gar keine Dichte, da das Integral über die reelle Achse nicht gleich $1$ ist.
Daher musst du die Dichte noch normieren, also durch [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}20} \int\limits_0^{100} e^{\frac{(x-75)^2}{2 \cdot 20^2}}\, [/mm] dx$ dividieren.
Zu deiner anderen Frage, und ab jetzt bleiben wir mal endgültig bei meiner Lösung, denn deine ist falsch: Den Nenner bei mir kann man nicht direkt ausrechnen, sondern nur numerisch lösen (mit Hilfe der Normalverteilungstabelle). Beim Zähler muss man erst partiell integrieren und kann dann wieder mit Hilfe der Normalverteilungstabelle lösen.
Ist es jetzt klar?
Viele Grüße
Julius
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