Beschränkte Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:19 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Pidgin |
| Aufgabe | | Nehme an das I ein nichtleeres offenes Intervall ist und das f beschränkt und C^unendlich auf I ist. Wenn ein M > 0 existiert, so dass [mm] |f^{(k)}(x)| \leq [/mm] Mk [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I und k genügend groß ist, und wenn a,b [mm] \in [/mm] I existieren, so dass [mm] \int\limits_a^b f(x)x^n [/mm] dx = 0 für n = 0, 1, ... gilt, dann beweise dass f identisch Null auf [a,b] ist. |
Ich hab leider keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Ich habs mal mit partieller Integration probiert, aber da bin ich leider nicht weitergekommen. Hat jemand eine Idee? Wäre dankbar für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0 \in [/mm] I fest. Sei [mm] T_n [/mm] das n-te Taylorpolynom von f (Entw.-Punkt [mm] x_0). [/mm] Sei x [mm] \in [/mm] I.
Nach dem Satz von Taylor ex. ein [mm] \xi [/mm] zwischen [mm] x_0 [/mm] und x mit:
$f(x) [mm] -T_n(x)= \bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
[/mm]
Mit der Vor. $ [mm] |f^{(k)}(x)| \leq [/mm] $ Mk $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ I und k genügend groß, zeige nun:
[mm] $T_n(x) \to [/mm] f(x)$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
D.h.: (*) $f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] I,
wobei [mm] a_n= \bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}. [/mm] Die Potenzreihe rechts in (*) konvergiert auf [a,b] gleichmäßig gegen f.
Dann konvergiert auch
(**) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nf(x)(x-x_0)^n [/mm]
auf [a,b] gleichmäßig gegen [mm] f^2. [/mm] Berechne damit und mit der Vor. $ [mm] \int\limits_a^b f(x)x^n [/mm] $ dx = 0 für n = 0, 1, ... mal das Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Es geht unter weit schwächeren Voraussetzungen, wenn man den Approximationssatz von Weierstraß zur Verfügung hat.
Behauptung: Ist f [mm] \in [/mm] C[a,b] und gilt $ [mm] \int\limits_a^b f(x)x^n [/mm] $ dx = 0 für n = 0, 1, ..., so ist f identisch Null auf [a,b] .
Beweis: aus dem Approximationssatz von Weierstraß erhlten wir eine Folge [mm] (p_n) [/mm] von Polynomen , welche auf [a,b] gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann konvergiert die Folge [mm] (fp_n) [/mm] auf [a,b] gleichmäßig gegen [mm] f^2. [/mm] Nach Vor. ist [mm] \integral_{a}^{b}{p_nf(x) dx}=0 [/mm] für jedes n, somit
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}= [/mm] lim [mm] \integral_{a}^{b}{p_nf(x) dx}=0 [/mm]
FRED
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