Beschränkte Ableitung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Do 17.03.2011 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen.
Ich bin mir nicht sicher, ob der folgende Schluss möglich ist.
Ich habe eine monoton fallende, stetig differenzierbare Funktion [mm] $f:[0,\infty[ \rightarrow \IR$ [/mm] mit $f(x) [mm] \rightarrow [/mm] 0$ für $x [mm] \rightarrow \infty$. [/mm]
Besitzt diese Funktion dann eine beschränkte Ableitung? Oder zumindest eine lokal beschränkte Ableitung?
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen.
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob der folgende Schluss möglich
> ist.
>
> Ich habe eine monoton fallende, stetig differenzierbare
> Funktion [mm]f:[0,\infty[ \rightarrow \IR[/mm] mit [mm]f(x) \rightarrow 0[/mm]
> für [mm]x \rightarrow \infty[/mm].
>
> Besitzt diese Funktion dann eine beschränkte Ableitung?
> Oder zumindest eine lokal beschränkte Ableitung?
f hat natürlich eine lokal beschränkte Ableitung, denn f' ist als stetige Funktion auf jedem kompakten Teilintervall von [mm] [0,\infty[ [/mm] beschränkt.
Global beschränkt muß f' nicht sein. Ich skizziere Dir grob, wie Du zu einer solchen Funktion kommst:
1. Schritt: Fang an z.B. im Punkt (0,10) . Gehe ein Stück parallel zur x _ Achse nach rechts. Nun gehst Du mit einem kurzen Geradenstück nach unten, dann wieder parallel zur x _ Achse nach rechts, dann wieder mit einem kurzen Geradenstück nach unten, etc....
Mach die nichtwaagrechten Geradenstücke so kurz und so steil, dass deren Steigungen gegen [mm] -\infty [/mm] gehen und dass Du immer schön oberhalb der x _ Achse bleibst.
Damit erhältst Du eine stetige Funktion f, die monoton fallend gegen 0 geht (für x [mm] \to \infty) [/mm] . Stetig differenzierbar ist dieses f natürlich nicht.
2. Schritt: Nimm das f aus Schritt 1 und "glätte". D.h.: die nicht waagrechten Geradenstücke rersetzt Du durch "Bögen" und zwar so, dass Du den Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion erhältst.
Viel Spaß beim "Basteln"
FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 20.03.2011 | | Autor: | DesterX |
Herzlichen Dank für deine Hilfe, Fred.
|
|
|
|
